Calcular |u+v|,|u-barv| e(baru+v) cdot(u-v), sabendo que |u|=4,|v|=3 eo a angulo entre ü e चै é de 60^circ.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular três coisas envolvendo vetores: a magnitude de u + v, a magnitude de u - v e o produto vetorial de (u + v) com (u - v). Sabemos que o comprimento de u é 4, o de v é 3 e o ângulo entre eles é de 60 graus. Para isso, vamos usar um pouco de álgebra vetorial e trigonometria.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular |u + v|, que é o comprimento da soma dos vetores u e v. A fórmula para a magnitude da soma de dois vetores é:
|u + v| = raiz|u|^2 + |v|^2 + 2|u||v|cos(theta)
Aqui, θ é o ângulo entre os vetores. Vamos substituir os valores que temos:
|u + v| = raiz4^2 + 3^2 + 2 cdot 4 cdot 3 cdot cos(60^circ)
Sabemos que cos(60°) = 0.5, então:
|u + v| = raiz16 + 9 + 24 cdot 0.5 = raiz16 + 9 + 12 = raiz37 approx 6.08

Passo 3

Agora, vamos calcular |u - v|, que é o comprimento da diferença entre os vetores u e v. A fórmula é semelhante:
|u - v| = raiz|u|^2 + |v|^2 - 2|u||v|cos(theta)
Substituindo os valores:
|u - v| = raiz4^2 + 3^2 - 2 cdot 4 cdot 3 cdot cos(60^circ) = raiz16 + 9 - 24 cdot 0.5 = raiz16 + 9 - 12 = raiz13 approx 3.61

Passo 4

Por fim, vamos calcular o produto vetorial (u + v) · (u - v). Podemos usar a propriedade distributiva do produto escalar:
(u + v) cdot (u - v) = u cdot u - u cdot v + v cdot u - v cdot v
Sabemos que u · u = |u|² e v · v = |v|², e que u · v = v · u = |u||v|\cos(\theta). Então:
(u + v) cdot (u - v) = |u|^2 - |u||v|cos(theta) + |u||v|cos(theta) - |v|^2
Os termos |u||v|\cos(\theta) se cancelam:
= |u|^2 - |v|^2 = 4^2 - 3^2 = 16 - 9 = 7

Resposta

As magnitudes e o produto vetorial são:
|u + v| approx 6.08
|u - v| approx 3.61
(u + v) cdot (u - v) = 7

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