Sabendo que e que ü e v formam angulo de 3 pi4 rad, determinar: |u-2 barv|
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de vetores! A gente sabe que a magnitude do vetor é e a do vetor é . Além disso, os vetores e formam um ângulo de radianos. O que a gente precisa encontrar é a magnitude do vetor . Para isso, vamos usar leis de vetores e trigonometria básica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que a gente está subtraindo o vetor do vetor . A multiplicação por 2 no vetor aumenta a sua magnitude para .
Passo 3
Agora, para encontrar a magnitude de |a - b| = raiz|a|^2 + |b|^2 - 2|a||b|cos(theta) , vamos usar a fórmula da magnitude da diferença de dois vetores. A fórmula geral é:
onde é o ângulo entre os vetores e .
Passo 4
Neste caso, e . Já sabemos que , , e o ângulo .
Passo 5
Vamos substituir esses valores na fórmula:
|u - 2v| = raiz(raiz2)^2 + (6)^2 - 2 times raiz2 times 6 times cos(3pi4)
Passo 6
Vamos simplificar cada parte:
(raiz2)^2 = 2
6^2 = 36
2 times raiz2 times 6 = 12raiz2
E sabemos que:
cos(3pi4) = -raiz22
Passo 7
Substituindo novamente:
|u - 2v| = raiz2 + 36 - 12raiz2 times (-raiz22)
Simplificando o termo com o cosseno:
-12raiz2 times (-raiz22) = 12 times 22 = 12
Passo 8
Agora, somando todos os termos dentro da raiz:
2 + 36 + 12 = 50
Então:
|u - 2v| = raiz50
Passo 9
Podemos simplificar raiz50 = raiz25 times 2 = 5raiz2 para: