Para o sistema linear dado, encontre todos os valores de a para os quais o sistema não tem solução, tem solução única e tem infinitas soluções:
x+2 y+z & =0 x+y-z & =2 x+y+(a^2-5) z & =a

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares com três variáveis: x + 2y + z = 0 x + y - z = 2 x + y + (a^2 - 5) z = a , e . O sistema é assim:
Nosso objetivo é descobrir para quais valores de esse sistema:
  1. Não tem solução (é impossível resolver).
  2. Tem uma solução única (existe apenas uma resposta para , e ).
  3. Tem infinitas soluções (tem muitas respostas possíveis).
Para resolver isso, vamos usar eliminação de Gauss, que é um método para simplificar o sistema e ver como as equações se relacionam. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada, que junta os coeficientes das variáveis com os termos constantes. Assim:
1 & 2 & 1 & | & 0 1 & 1 & -1 & | & 2 1 & 1 & a^2 - 5 & | & a
A ideia é usar operações nas linhas para deixar essa matriz mais simples e ver quantas soluções o sistema tem.

Passo 3

Vamos começar eliminando o termo (1 - 1)x + (1 - 2)y + (-1 - 1)z = 2 - 0 0x - y - 2z = 2 das segundas e terceiras equações. Para isso, subtraímos a primeira linha da segunda e da terceira.
Subtraindo a primeira linha da segunda:
(1 - 1)x + (1 - 2)y + (a^2 - 5 - 1)z = a - 0 0x - y + (a^2 - 6)z = a
Subtraindo a primeira linha da terceira:
1 & 2 & 1 & | & 0 0 & -1 & -2 & | & 2 0 & -1 & a^2 - 6 & | & a
Agora, a matriz fica assim:

Passo 4

Vamos simplificar ainda mais. Vamos subtrair a segunda linha da terceira para eliminar o termo (0 - 0)x + (-1 - (-1))y + (a^2 - 6 - (-2))z = a - 2 0x + 0y + (a^2 - 4)z = a - 2 .
Subtraindo a segunda linha da terceira:
1 & 2 & 1 & | & 0 0 & -1 & -2 & | & 2 0 & 0 & a^2 - 4 & | & a - 2
Então, a matriz fica:

Passo 5

Agora, vamos analisar a última equação:
(a^2 - 4)z = a - 2
O comportamento do sistema depende do coeficiente de , que é . Precisamos ver quando esse coeficiente é zero ou diferente de zero.
  1. Se :
    • Podemos resolver para e obter uma solução única para todas as variáveis.
  2. Se :
    • Isso acontece quando ou .
    • Precisamos verificar se a última equação faz sentido ou gera uma contradição.
Vamos ver cada caso.

Passo 6

Caso 1: z = a - 2a^2 - 4 (ou seja, - y - 2z = 2 - y - 2(a - 2a^2 - 4) = 2 y = -2 - 2(a - 2a^2 - 4) e x + 2y + z = 0 x = -2y - z )
Nesse caso, podemos resolver a última equação para :
Com encontrado, voltamos para a segunda equação para achar :
E finalmente, usamos a primeira equação para achar :
Assim, para cada e , temos uma solução única para , e .

Passo 7

Caso 2: (2^2 - 4)z = 2 - 2 0 cdot z = 0 (ou seja, ((-2)^2 - 4)z = -2 - 2 0 cdot z = -4 ou )
Vamos analisar esses valores de separadamente.
  1. Para :
    A última equação fica:
    Isso significa que a última equação não dá informação nova sobre . Então, temos duas equações com duas variáveis ( e ), e o sistema terá infinitas soluções. A terceira equação não restringe mais o sistema.
  2. Para :
    A última equação fica:
    Isso é impossível, já que nunca é igual a . Portanto, o sistema não tem solução quando .

Passo 8

Resumo dos casos:
  • Para e : O sistema tem uma solução única.
  • Para : O sistema tem infinitas soluções.
  • Para : O sistema não tem solução.

Resposta

  • O sistema não tem solução quando .
  • O sistema tem uma solução única para todo valor de diferente de e .
  • O sistema tem infinitas soluções quando .

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