Para o sistema linear dado, encontre todos os valores de para os quais o sistema não tem solução, tem solução única e tem infinitas soluções:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares com três variáveis: , e . O sistema é assim: Nosso objetivo é descobrir para quais valores de esse sistema: 1. **Não tem solução** (é impossível resolver). 2. **Tem uma solução única** (existe apenas uma resposta para , e ). 3. **Tem infinitas soluções** (tem muitas respostas possíveis). Para resolver isso, vamos usar **eliminação de Gauss**, que é um método para simplificar o sistema e ver como as equações se relacionam. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma **matriz aumentada**, que junta os coeficientes das variáveis com os termos constantes. Assim: A ideia é usar operações nas linhas para deixar essa matriz mais simples e ver quantas soluções o sistema tem.

Passo 3

Vamos começar eliminando o termo das segundas e terceiras equações. Para isso, subtraímos a primeira linha da segunda e da terceira. **Subtraindo a primeira linha da segunda:** **Subtraindo a primeira linha da terceira:** Agora, a matriz fica assim:

Passo 4

Vamos simplificar ainda mais. Vamos subtrair a segunda linha da terceira para eliminar o termo . **Subtraindo a segunda linha da terceira:** Então, a matriz fica:

Passo 5

Agora, vamos analisar a última equação: O comportamento do sistema depende do coeficiente de , que é . Precisamos ver quando esse coeficiente é zero ou diferente de zero. 1. **Se :** - Podemos resolver para e obter uma solução única para todas as variáveis. 2. **Se :** - Isso acontece quando ou . - Precisamos verificar se a última equação faz sentido ou gera uma contradição. Vamos ver cada caso.

Passo 6

**Caso 1: (ou seja, e )** Nesse caso, podemos resolver a última equação para : Com encontrado, voltamos para a segunda equação para achar : E finalmente, usamos a primeira equação para achar : Assim, para cada e , temos uma **solução única** para , e .

Passo 7

**Caso 2: (ou seja, ou )** Vamos analisar esses valores de separadamente. 1. **Para :** A última equação fica: Isso significa que a última equação não dá informação nova sobre . Então, temos duas equações com duas variáveis ( e ), e o sistema terá **infinitas soluções**. A terceira equação não restringe mais o sistema. 2. **Para :** A última equação fica: Isso é impossível, já que nunca é igual a . Portanto, o sistema **não tem solução** quando .

Passo 8

**Resumo dos casos:** - **Para e :** O sistema tem **uma solução única**. - **Para :** O sistema tem **infinitas soluções**. - **Para :** O sistema **não tem solução**.

Resposta

- **O sistema não tem solução quando .** - **O sistema tem uma solução única para todo valor de diferente de e .** - **O sistema tem infinitas soluções quando .**

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