Para o sistema linear dado, encontre todos os valores de para os quais o sistema não tem solução, tem solução única e tem infinitas soluções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares com três variáveis: , e . O sistema é assim:
Nosso objetivo é descobrir para quais valores de esse sistema:
1. **Não tem solução** (é impossível resolver).
2. **Tem uma solução única** (existe apenas uma resposta para , e ).
3. **Tem infinitas soluções** (tem muitas respostas possíveis).
Para resolver isso, vamos usar **eliminação de Gauss**, que é um método para simplificar o sistema e ver como as equações se relacionam. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma **matriz aumentada**, que junta os coeficientes das variáveis com os termos constantes. Assim:
A ideia é usar operações nas linhas para deixar essa matriz mais simples e ver quantas soluções o sistema tem.
Passo 3
Vamos começar eliminando o termo das segundas e terceiras equações. Para isso, subtraímos a primeira linha da segunda e da terceira.
**Subtraindo a primeira linha da segunda:**
**Subtraindo a primeira linha da terceira:**
Agora, a matriz fica assim:
Passo 4
Vamos simplificar ainda mais. Vamos subtrair a segunda linha da terceira para eliminar o termo .
**Subtraindo a segunda linha da terceira:**
Então, a matriz fica:
Passo 5
Agora, vamos analisar a última equação:
O comportamento do sistema depende do coeficiente de , que é . Precisamos ver quando esse coeficiente é zero ou diferente de zero.
1. **Se :**
- Podemos resolver para e obter uma solução única para todas as variáveis.
2. **Se :**
- Isso acontece quando ou .
- Precisamos verificar se a última equação faz sentido ou gera uma contradição.
Vamos ver cada caso.
Passo 6
**Caso 1: (ou seja, e )**
Nesse caso, podemos resolver a última equação para :
Com encontrado, voltamos para a segunda equação para achar :
E finalmente, usamos a primeira equação para achar :
Assim, para cada e , temos uma **solução única** para , e .
Passo 7
**Caso 2: (ou seja, ou )**
Vamos analisar esses valores de separadamente.
1. **Para :**
A última equação fica:
Isso significa que a última equação não dá informação nova sobre . Então, temos duas equações com duas variáveis ( e ), e o sistema terá **infinitas soluções**. A terceira equação não restringe mais o sistema.
2. **Para :**
A última equação fica:
Isso é impossível, já que nunca é igual a . Portanto, o sistema **não tem solução** quando .
Passo 8
**Resumo dos casos:**
- **Para e :** O sistema tem **uma solução única**.
- **Para :** O sistema tem **infinitas soluções**.
- **Para :** O sistema **não tem solução**.
Resposta
- **O sistema não tem solução quando .**
- **O sistema tem uma solução única para todo valor de diferente de e .**
- **O sistema tem infinitas soluções quando .**