Calcular A^p nos seguintes casos
a) (rr2 & 4 3 & 13)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular A = 2 & 4 3 & 13 para a matriz:
Aqui, representa a matriz elevada a uma potência . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente a diagonalização de matrizes. A ideia é simplificar a matriz de uma forma que facilite a elevação à potência .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz det(A - lambda I) = 0 . Os autovalores det( 2 - lambda & 4 3 & 13 - lambda ) = (2 - lambda)(13 - lambda) - (4 times 3) = 0 são encontrados resolvendo a equação característica:
(2 - lambda)(13 - lambda) - 12 = 0
Onde 26 - 15lambda + lambda^2 - 12 = 0 é a matriz identidade do mesmo tamanho que lambda^2 - 15lambda + 14 = 0 . Vamos calcular isso:
Calculando o determinante:

Passo 3

Agora, resolvemos a equação quadrática para encontrar os autovalores:
lambda^2 - 15lambda + 14 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = 15 pm raiz225 - 562 = 15 pm raiz1692 = 15 pm 132
Portanto, os autovalores são:
lambda1 = 15 + 132 = 14 e lambda2 = 15 - 132 = 1

Passo 4

Com os autovalores encontrados, vamos encontrar os autovetores correspondentes para cada 2 - 14 & 4 3 & 13 - 14 v1 v2 = -12 & 4 3 & -1 v1 v2 = 0 0 .
Para 1 3:
Resolvemos 2 - 1 & 4 3 & 13 - 1 v1 v2 = 1 & 4 3 & 12 v1 v2 = 0 0 :

[
-4 1



]
Da primeira equação: .
Então, um autovetor para é .
Para :
Resolvemos :

[



]
Da primeira equação: .
Então, um autovetor para é .

Passo 5

Agora, vamos formar a matriz P = 1 & -4 3 & 1 , D = 14 & 0 0 & 1 cujas colunas são os autovetores de A = P D P^-1 , e a matriz diagonal com os autovalores na diagonal:
A matriz pode ser diagonalizada como:

Passo 6

Para calcular A^p = P D^p P^-1 , usamos a propriedade das matrizes diagonalizadas:
D^p = 14^p & 0 0 & 1^p = 14^p & 0 0 & 1
Onde é simplesmente a matriz diagonal com cada elemento elevado à potência :

Passo 7

Agora, precisamos encontrar P = 1 & -4 3 & 1 , a inversa da matriz det(P) = (1)(1) - (-4)(3) = 1 + 12 = 13 . Vamos calcular:
P^-1 = 1det(P) 1 & 4 -3 & 1 = 113 1 & 4 -3 & 1
O determinante de é:
Então, a inversa de é:

Passo 8

Finalmente, substituímos tudo na fórmula A^p = 1 & -4 3 & 1 14^p & 0 0 & 1 113 1 & 4 -3 & 1 :
A^p = 113 1 cdot 14^p + (-4) cdot 0 & 1 cdot 0 + (-4) cdot 1 3 cdot 14^p + 1 cdot 0 & 3 cdot 0 + 1 cdot 1 1 & 4 -3 & 1
Multiplicando as matrizes:
A^p = 113 14^p & -4 3 cdot 14^p & 1 1 & 4 -3 & 1
Simplificando:
A^p = 113 14^p cdot 1 + (-4) cdot (-3) & 14^p cdot 4 + (-4) cdot 1 3 cdot 14^p cdot 1 + 1 cdot (-3) & 3 cdot 14^p cdot 4 + 1 cdot 1
Continuando a multiplicação:
A^p = 113 14^p + 12 & 4 cdot 14^p - 4 3 cdot 14^p - 3 & 12 cdot 14^p + 1
Simplificando mais:

Resposta

Portanto, a matriz A^p = 113 14^p + 12 & 4 cdot 14^p - 4 3 cdot 14^p - 3 & 12 cdot 14^p + 1 é:

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