Calcular
nos seguintes casos
a)
a)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular
para a matriz:
Aqui,
representa a matriz
elevada a uma potência
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente a diagonalização de matrizes. A ideia é simplificar a matriz
de uma forma que facilite a elevação à potência
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz
. Os autovalores
são encontrados resolvendo a equação característica:
Onde
é a matriz identidade do mesmo tamanho que
. Vamos calcular isso:
Calculando o determinante:
Passo 3
Agora, resolvemos a equação quadrática para encontrar os autovalores:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, os autovalores são:
Passo 4
Com os autovalores encontrados, vamos encontrar os autovetores correspondentes para cada
.
Para
:
Resolvemos
:
[
]
Da primeira equação:
→
.
Então, um autovetor para
é
.
Para
:
Resolvemos
:
[
]
Da primeira equação:
→
.
Então, um autovetor para
é
.
Passo 5
Agora, vamos formar a matriz
cujas colunas são os autovetores de
, e a matriz diagonal
com os autovalores na diagonal:
A matriz
pode ser diagonalizada como:
Passo 6
Para calcular
, usamos a propriedade das matrizes diagonalizadas:
Onde
é simplesmente a matriz diagonal
com cada elemento elevado à potência
:
Passo 7
Agora, precisamos encontrar
, a inversa da matriz
. Vamos calcular:
O determinante de
é:
Então, a inversa de
é:
Passo 8
Finalmente, substituímos tudo na fórmula
:
Multiplicando as matrizes:
Simplificando:
Continuando a multiplicação:
Simplificando mais:
Resposta
Portanto, a matriz
é: