Determine o polinômio característico dos operadores lineares, encontre seus autovalores e autovetores correspondentes e dê uma base e a dimensão dos respectivos auto-espaços.
c) T(p(x))=dd x p(x), p in P^3(R).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio característico do operador linear que deriva polinômios de grau até 3, além de achar os autovalores, autovetores e as bases dos autoespaços correspondentes. Para isso, vamos trabalhar com matrizes, polinômios característicos e conceitos de álgebra linear como autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma base para o espaço T(1) = 0 . Uma boa base é T(x) = 1 . Agora, precisamos encontrar a matriz de T(x^2) = 2x nessa base. Lembre-se que T(x^3) = 3x^2 é a derivada, então:
A = 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 & 0
Expressando essas derivadas na base escolhida, a matriz de fica:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o polinômio característico de A - lambda I = -lambda & 1 & 0 & 0 0 & -lambda & 2 & 0 0 & 0 & -lambda & 3 0 & 0 & 0 & -lambda . O polinômio característico é dado por det(A - lambda I) = (-lambda)^4 = lambda^4 , onde p(lambda) = lambda^4 é a matriz identidade e é uma variável escalar.
Como essa matriz é triangular, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
Então, o polinômio característico é:

Passo 4

Para encontrar os autovalores, resolvemos lambda^4 = 0 implies lambda = 0 :
Então, o único autovalor de é , com multiplicidade algébrica 4.

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes ao autovalor A = 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 & 0 . Precisamos resolver a 0 0 0 .
A matriz já é:
Resolvendo o sistema , obtemos:
  1. Livre
Então, o único componente livre é , que pode ser qualquer número real. Portanto, os autovetores s��o da forma , onde é um escalar.

Passo 6

O autoespaço correspondente a E0 = a 0 0 0 mid a in R é o conjunto de todos os autovetores, que podemos escrever como:
1 0 0 0
A base desse autoespaço é e a dimensão é 1.

Resposta

O polinômio característico é . O único autovalor é com multiplicidade 4. Os autovetores correspondentes são todos os vetores da forma , onde . A base do autoespaço é e sua dimensão é 1.

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