Verifique se: O conjunto
de todos os polinômios de grau no máximo igual a 2 é subespaço do conjunto
de todos os polinômios;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se o conjunto
, que contém todos os polinômios de grau no máximo 2, é um subespaço de
, o conjunto de todos os polinômios. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Precisamos verificar três coisas: se o conjunto contém o vetor zero, se é fechado quanto à adição e se é fechado quanto à multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está no conjunto
. O vetor zero, nesse contexto, é o polinômio
, que pode ser escrito como
. Como o grau desse polinômio é menos que ou igual a 2, ele pertence a
. Então, o primeiro requisito está satisfeito.
Passo 3
Agora, vamos ver se o conjunto é fechado sob a adição. Isso significa que se pegarmos dois polinômios quaisquer em
e os somarmos, o resultado também deve estar em
. Suponha que temos dois polinômios:
Quando somamos
, obtemos:
O grau desse polinômio resultante é no máximo 2, já que a soma de dois termos quadráticos ainda é um termo quadrático. Portanto, a soma está em
, e a adição está fechada.
Passo 4
Por último, vamos verificar se o conjunto é fechado sob a multiplicação por escalar. Isso significa que se pegarmos qualquer polinômio em
e multiplicarmos por um número qualquer (escalar), o resultado também deve estar em
. Se temos:
e multiplicamos por um escalar
, temos:
O grau desse polinômio multiplicado continua sendo no máximo 2, já que os coeficientes são apenas escalados, mas os termos de maior grau permanecem os mesmos. Assim, a multiplicação por escalar mantém o polinômio dentro de
.
Resposta
Como o conjunto
contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço de
.