Verifique se: O conjunto P<= 2 de todos os polinômios de grau no máximo igual a 2 é subespaço do conjunto P de todos os polinômios;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se o conjunto P<= 2, que contém todos os polinômios de grau no máximo 2, é um subespaço de P, o conjunto de todos os polinômios. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Precisamos verificar três coisas: se o conjunto contém o vetor zero, se é fechado quanto à adição e se é fechado quanto à multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está no conjunto P<= 2. O vetor zero, nesse contexto, é o polinômio 0, que pode ser escrito como 0x^2 + 0x + 0. Como o grau desse polinômio é menos que ou igual a 2, ele pertence a P<= 2. Então, o primeiro requisito está satisfeito.

Passo 3

Agora, vamos ver se o conjunto é fechado sob a adição. Isso significa que se pegarmos dois polinômios quaisquer em P<= 2 e os somarmos, o resultado também deve estar em P<= 2. Suponha que temos dois polinômios:
p(x) = a2x^2 + a1x + a0
q(x) = b2x^2 + b1x + b0
Quando somamos p(x) + q(x), obtemos:
(a2 + b2)x^2 + (a1 + b1)x + (a0 + b0)
O grau desse polinômio resultante é no máximo 2, já que a soma de dois termos quadráticos ainda é um termo quadrático. Portanto, a soma está em P<= 2, e a adição está fechada.

Passo 4

Por último, vamos verificar se o conjunto é fechado sob a multiplicação por escalar. Isso significa que se pegarmos qualquer polinômio em P<= 2 e multiplicarmos por um número qualquer (escalar), o resultado também deve estar em P<= 2. Se temos:
p(x) = a2x^2 + a1x + a0
e multiplicamos por um escalar c, temos:
c cdot p(x) = (c a2)x^2 + (c a1)x + (c a0)
O grau desse polinômio multiplicado continua sendo no máximo 2, já que os coeficientes são apenas escalados, mas os termos de maior grau permanecem os mesmos. Assim, a multiplicação por escalar mantém o polinômio dentro de P<= 2.

Resposta

Como o conjunto P<= 2 contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar, concluímos que P<= 2 é um subespaço de P.

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