Determinar o polinômio característico e os valores próprios do operador linear que é definido em uma base por .
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem um operador linear definido numa base específica de um espaço vetorial . A tarefa é determinar o polinômio característico desse operador e encontrar os seus valores próprios. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes, determinantes, e o que são valores próprios e polinômios característicos na álgebra linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que toda transformação linear pode ser representada por uma matriz em relação a uma base específica. No nosso caso, a base é .
Passo 3
A definição do operador é , onde são escalares reais. Isso significa que cada vetor base é mapeado para ele mesmo multiplicado por .
Passo 4
Como cada vetor base é mapeado para ele mesmo vezes um escalar, a matriz que representa nessa base é uma matriz diagonal, onde os elementos da diagonal principal são esses escalares .
Passo 5
Então, a matriz que representa é:
Passo 6
Agora, para encontrar o polinômio característico de Polinômio Característico = det(A - xI) , precisamos calcular o determinante da matriz , onde é a matriz identidade e é uma variável.
ôí
Passo 7
Subtraindo A - xI = lambda1 - x & 0 & cdots & 0 0 & lambda2 - x & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & lambdan - x da diagonal principal de , temos:
Passo 8
O determinante de uma matriz diagonal é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. Então: