Determinar o polinômio característico e os valores próprios do operador linear T: V V que é definido em uma base e1, ldots, en por T(ej)=lambdai ei(lambdai in I R).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem um operador linear definido numa base específica de um espaço vetorial . A tarefa é determinar o polinômio característico desse operador e encontrar os seus valores próprios. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes, determinantes, e o que são valores próprios e polinômios característicos na álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que toda transformação linear pode ser representada por uma matriz em relação a uma base específica. No nosso caso, a base é .

Passo 3

A definição do operador é , onde são escalares reais. Isso significa que cada vetor base é mapeado para ele mesmo multiplicado por .

Passo 4

Como cada vetor base é mapeado para ele mesmo vezes um escalar, a matriz que representa nessa base é uma matriz diagonal, onde os elementos da diagonal principal são esses escalares .

Passo 5

Então, a matriz A = lambda1 & 0 & cdots & 0 0 & lambda2 & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & lambdan que representa é:

Passo 6

Agora, para encontrar o polinômio característico de Polinômio Característico = det(A - xI) , precisamos calcular o determinante da matriz , onde é a matriz identidade e é uma variável.
ôí

Passo 7

Subtraindo A - xI = lambda1 - x & 0 & cdots & 0 0 & lambda2 - x & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & lambdan - x da diagonal principal de , temos:

Passo 8

O determinante de uma matriz diagonal é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. Então:
det(A - xI) = (lambda1 - x)(lambda2 - x) cdots (lambdan - x)

Passo 9

Portanto, o polinômio característico é:
p(x) = prodj=1^n (lambdaj - x) = (lambda1 - x)(lambda2 - x) cdots (lambdan - x)

Passo 10

Os valores próprios de são justamente os raízes do polinômio característico. Ou seja, os valores de que satisfazem .

Passo 11

Resolvendо (lambda1 - x)(lambda2 - x) cdots (lambdan - x) = 0 :

Passo 12

Isso acontece quando para algum . Portanto, os valores próprios são .

Resposta

O polinômio característico de é e os valores próprios são .

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