Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre vetores em um espaço de cinco dimensões, chamado . Temos três vetores , e , e dois subespaços: e . A questão quer saber se a soma desses dois subespaços, , é igual a todo o espaço . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de subespaços, soma de subespaços e dimensões desses espaços.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é cada subespaço. O subespaço é formado por todos os vetores de que têm a terceira coordenada igual a zero. Isso significa que qualquer vetor em tem a forma , onde são números reais.
Já o subespaço é o conjunto de todas as combinações lineares dos vetores , e . Ou seja, é formado por todos os vetores que podem ser escritos como , onde são números reais.
Passo 3
Para verificar se , precisamos checar se qualquer vetor em pode ser escrito como a soma de um vetor de e um vetor de . Uma maneira eficiente de fazer isso é verificar as dimensões dos subespaços e e ver se a soma dessas dimensões é pelo menos igual à dimensão de (que é 5).
Passo 4
Vamos começar encontrando a dimensão de . Observando que qualquer vetor em tem a terceira coordenada zero, isso significa que temos 4 graus de liberdade (as outras quatro coordenadas). Portanto, .
Passo 5
Agora, vamos encontrar a dimensão de . Para isso, precisamos verificar se os vetores , e são linearmente independentes. Se eles forem, a dimensão de será 3; caso contrário, será menor.
Vamos montar uma matriz com esses vetores como linhas e verificar o posto:
Realizando operações de linha para reduzir essa matriz:
Subtraia a primeira linha da segunda: Linha2 = Linha2 - Linha1
Adicione a primeira linha à terceira: Linha3 = Linha3 + Linha1
Some a segunda linha com a terceira: Linha3 = Linha3 + Linha2
Como não há linhas de zeros, os três vetores são linearmente independentes. Portanto, .
Passo 6
Agora, vamos somar as dimensões: . Porém, como estamos em , a soma das dimensões não pode exceder 5. Isso indica que há uma interseção não trivial entre e . Para assegurar que , precisamos que a interseção seja de dimensão .
Passo 7
Na verdade, para que a soma seja igual a , precisamos apenas que . Como , temos que .
Isso confirma que a soma das dimensões é suficiente para cobrir todo o espaço .