Sejam v1=(1,2,3,2,-1), v2=(1,0,0,2,2), v3=(-1,0,-1,0,3) vetores de R^5. Considere os subespaços de R^5
U=(a1, a2, 0, a4, a5) mid a1, ldots, a5 in R e W=[v1, v2, v3]
U+W=R^5 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre vetores em um espaço de cinco dimensões, chamado . Temos três vetores , e , e dois subespaços: e . A questão quer saber se a soma desses dois subespaços, , é igual a todo o espaço . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de subespaços, soma de subespaços e dimensões desses espaços.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é cada subespaço. O subespaço é formado por todos os vetores de que têm a terceira coordenada igual a zero. Isso significa que qualquer vetor em tem a forma , onde são números reais.
Já o subespaço é o conjunto de todas as combinações lineares dos vetores , e . Ou seja, é formado por todos os vetores que podem ser escritos como , onde são números reais.

Passo 3

Para verificar se , precisamos checar se qualquer vetor em pode ser escrito como a soma de um vetor de e um vetor de . Uma maneira eficiente de fazer isso é verificar as dimensões dos subespaços e e ver se a soma dessas dimensões é pelo menos igual à dimensão de (que é 5).

Passo 4

Vamos começar encontrando a dimensão de . Observando que qualquer vetor em tem a terceira coordenada zero, isso significa que temos 4 graus de liberdade (as outras quatro coordenadas). Portanto, .

Passo 5

Agora, vamos encontrar a dimensão de 1 & 2 & 3 & 2 & -1 1 & 0 & 0 & 2 & 2 -1 & 0 & -1 & 0 & 3 . Para isso, precisamos verificar se os vetores 1 & 2 & 3 & 2 & -1 0 & -2 & -3 & 0 & 3 -1 & 0 & -1 & 0 & 3 , 1 & 2 & 3 & 2 & -1 0 & -2 & -3 & 0 & 3 0 & 2 & 2 & 2 & 2 e 1 & 2 & 3 & 2 & -1 0 & -2 & -3 & 0 & 3 0 & 0 & -1 & 2 & 5 são linearmente independentes. Se eles forem, a dimensão de será 3; caso contrário, será menor.
Vamos montar uma matriz com esses vetores como linhas e verificar o posto:
Realizando operações de linha para reduzir essa matriz:
  1. Subtraia a primeira linha da segunda: Linha2 = Linha2 - Linha1
  1. Adicione a primeira linha à terceira: Linha3 = Linha3 + Linha1
  1. Some a segunda linha com a terceira: Linha3 = Linha3 + Linha2
Como não há linhas de zeros, os três vetores são linearmente independentes. Portanto, .

Passo 6

Agora, vamos somar as dimensões: . Porém, como estamos em , a soma das dimensões não pode exceder 5. Isso indica que há uma interseção não trivial entre e . Para assegurar que , precisamos que a interseção seja de dimensão .

Passo 7

Na verdade, para que a soma seja igual a , precisamos apenas que . Como , temos que .
Isso confirma que a soma das dimensões é suficiente para cobrir todo o espaço .

Resposta

Sim, a soma dos subespaços é igual a .

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