Calcular partial fpartial s(x0, yn) na direção v=2 i-j :
a) f(x, y)=3 x^2-2 y^2 ; (x0, y0)=(1,2)
b) f(x, y)=e^y ; (x0, y0)=(-1,2)
c) f(x, y)=x+y1-x ; (x0, y0)=(0, 12).

Passo 1

Vamos resolver o exercício de cálculo da derivada direcional. O conteúdo envolve derivadas parciais e derivadas direcionais em funções de duas variáveis. Para isso, vamos precisar calcular o gradiente das funções e o vetor de direção dado.

Passo 2

a) nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y ) no ponto partial fpartial x = 6x partial fpartial y = -4y
Primeiro, calculamos o gradiente da função nabla f(1, 2) = (6 cdot 1, -4 cdot 2) = (6, -8) :
|v| = raiz2^2 + (-1)^2 = raiz4 + 1 = raiz5
Calculando as derivadas parciais:
u = ( 2raiz5, -1raiz5 )
No ponto Du f = nabla f cdot u = 6 cdot 2raiz5 + (-8) cdot -1raiz5 = 12raiz5 + 8raiz5 = 20raiz5 = 4raiz5 :
Agora, normalizamos o vetor direção :
Vetor unitário na direção de :
Finalmente, a derivada direcional é o produto escalar do gradiente pelo vetor unitário:

Passo 3

b) nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y ) = (0, e^y) no ponto nabla f(-1, 2) = (0, e^2)
Calculamos o gradiente da função Du f = nabla f cdot u = 0 cdot 2raiz5 + e^2 cdot -1raiz5 = -e^2raiz5 :
No ponto :
Usamos o mesmo vetor direção e seu vetor unitário .
Derivada direcional:

Passo 4

c) partial fpartial x = (1)(1 - x) - (x + y)(-1)(1 - x)^2 = 1 - x + x + y(1 - x)^2 = 1 + y(1 - x)^2 no ponto partial fpartial y = 11 - x
Primeiro, calculamos o gradiente da função partial fpartial x|(0, 12) = 1 + 12(1 - 0)^2 = 32 partial fpartial y|(0, 12) = 11 - 0 = 1 :
abla f(0, 12) = ( 32, 1 )
Du f = nabla f cdot u = 32 cdot 2raiz5 + 1 cdot -1raiz5 = 3raiz5 - 1raiz5 = 2raiz5 = 2raiz55
No ponto :
Portanto, o gradiente é:
Usando o vetor direção com vetor unitário , calculamos a derivada direcional:

Resposta

a)
b)
c)

Exercícios relacionados