Calcular na direção :
a)
b)
c) .

Passo 1

Vamos resolver o exercício de cálculo da derivada direcional. O conteúdo envolve derivadas parciais e derivadas direcionais em funções de duas variáveis. Para isso, vamos precisar calcular o gradiente das funções e o vetor de direção dado.

Passo 2

a) no ponto
Primeiro, calculamos o gradiente da função :
Calculando as derivadas parciais:
No ponto :
Agora, normalizamos o vetor direção :
Vetor unitário na direção de :
Finalmente, a derivada direcional é o produto escalar do gradiente pelo vetor unitário:

Passo 3

b) no ponto
Calculamos o gradiente da função :
No ponto :
Usamos o mesmo vetor direção e seu vetor unitário .
Derivada direcional:

Passo 4

c) no ponto
Primeiro, calculamos o gradiente da função :
No ponto :
Portanto, o gradiente é:
Usando o vetor direção com vetor unitário , calculamos a derivada direcional:

Resposta

a)
b)
c)

Exercícios relacionados

Determinar uma equação para a reta normal à curva dada, nos pontos indicados:
Determinar o comprimento de arco das seguintes curvas:
a)
b)
c)
d) de a
e)
f) hélice circular sent de a
g) um arco da ciclóide
h) para
i) para
j) para
k) .
Em que direção e sentido a função dada cresce mais rapidamente no ponto dado? Em que direção e sentido decresce mais rapidamente?
a)
b) .
Uma função diferenciável tem, no ponto , derivada direcional igual a na direção e igual a na direção . Calcular:
a)
b) na direção .