Uma função diferenciável tem, no ponto , derivada direcional igual a na direção e igual a na direção . Calcular:
a)
b) na direção .

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma função diferenciável e sabemos as derivadas direcionais dela em um ponto específico, que é . O conteúdo que vamos usar aqui envolve derivadas direcionais e o gradiente da função. Precisamos relacionar as derivadas direcionais dadas com o gradiente para encontrar os valores solicitados nas partes a) e b).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função na direção de um vetor unitário é dada por:
Aqui, é o gradiente da função, e representa o produto interno entre os vetores.

Passo 3

Nos foi dada a derivada direcional na direção igual a e na direção igual a . Primeiro, precisamos transformar esses vetores em vetores unitários, pois a fórmula da derivada direcional requer vetores de comprimento 1.
Para o vetor :
Para o vetor :

Passo 4

Agora, aplicando a fórmula da derivada direcional:
Para :
Para :
Vamos chamar o gradiente . Então, temos o sistema de equações:

Passo 5

Multiplicando todas as equações por 5 para simplificar:
Agora, vamos resolver esse sistema de equações.

Passo 6

Vamos resolver pelo método da substituição ou da combinação. Vamos usar a combinação.
Multiplicando a equação (1’) por 3:
Multiplicando a equação (2’) por 4:
Somando as equações (3) e (4):

Passo 7

Agora, substituindo na equação (1’):

Passo 8

Então, o gradiente da função no ponto dado é:

Passo 9

Agora, para a parte b), queremos encontrar a derivada direcional na direção . Primeiro, vamos transformar em um vetor unitário.

Passo 10

Agora, aplicando novamente a fórmula da derivada direcional:

Resposta

a)
b)

Exercícios relacionados

Em que direção e sentido a função dada cresce mais rapidamente no ponto dado? Em que direção e sentido decresce mais rapidamente?
a)
b) .
Calcular na direção :
a)
b)
c) .