Uma função diferenciável
tem, no ponto
, derivada direcional igual a
na direção
e igual a
na direção
. Calcular:
a)
b)
na direção
.
a)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma função diferenciável
e sabemos as derivadas direcionais dela em um ponto específico, que é
. O conteúdo que vamos usar aqui envolve derivadas direcionais e o gradiente da função. Precisamos relacionar as derivadas direcionais dadas com o gradiente
para encontrar os valores solicitados nas partes a) e b).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função
na direção de um vetor unitário
é dada por:
Aqui,
é o gradiente da função, e
representa o produto interno entre os vetores.
Passo 3
Nos foi dada a derivada direcional na direção
igual a
e na direção
igual a
. Primeiro, precisamos transformar esses vetores em vetores unitários, pois a fórmula da derivada direcional requer vetores de comprimento 1.
Para o vetor
:
Para o vetor
:
Passo 4
Agora, aplicando a fórmula da derivada direcional:
Para
:
Para
:
Vamos chamar o gradiente
. Então, temos o sistema de equações:
Passo 5
Multiplicando todas as equações por 5 para simplificar:
Agora, vamos resolver esse sistema de equações.
Passo 6
Vamos resolver pelo método da substituição ou da combinação. Vamos usar a combinação.
Multiplicando a equação (1’) por 3:
Multiplicando a equação (2’) por 4:
Somando as equações (3) e (4):
Passo 7
Agora, substituindo
na equação (1’):
Passo 8
Então, o gradiente da função no ponto dado é:
Passo 9
Agora, para a parte b), queremos encontrar a derivada direcional na direção
. Primeiro, vamos transformar
em um vetor unitário.
Passo 10
Agora, aplicando novamente a fórmula da derivada direcional:
Resposta
a)
b)
Exercícios relacionados
Em que direção e sentido a função dada cresce mais rapidamente no ponto dado? Em que direção e sentido decresce mais rapidamente?
a)
b) .
a)
b)
Calcular
na direção
:
a)
b)
c) .
a)
b)
c)