Uma função diferenciável f(x, y) tem, no ponto (0, pi2), derivada direcional igual a 25 na direção 3 i+4 j e igual a 115 na direção 4 i-3 j. Calcular:
a) nabla f(0, pi2)
b) partial fpartial s(0, pi2) na direção a=i+j.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma função diferenciável e sabemos as derivadas direcionais dela em um ponto específico, que é . O conteúdo que vamos usar aqui envolve derivadas direcionais e o gradiente da função. Precisamos relacionar as derivadas direcionais dadas com o gradiente para encontrar os valores solicitados nas partes a) e b).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função Du f = nabla f cdot u na direção de um vetor unitário é dada por:
Aqui, é o gradiente da função, e representa o produto interno entre os vetores.

Passo 3

Nos foi dada a derivada direcional na direção | u1 | = raiz3^2 + 4^2 = 5 u1 = 35i + 45j igual a | u2 | = raiz4^2 + (-3)^2 = 5 u2 = 45i - 35j e na direção igual a . Primeiro, precisamos transformar esses vetores em vetores unitários, pois a fórmula da derivada direcional requer vetores de comprimento 1.
Para o vetor :
Para o vetor :

Passo 4

Agora, aplicando a fórmula da derivada direcional:
Para Du1 f = nabla f cdot u1 = 25 :
Du2 f = nabla f cdot u2 = 115
Para 35a + 45b = 25 (1) 45a - 35b = 115 (2) :
Vamos chamar o gradiente . Então, temos o sistema de equações:

Passo 5

Multiplicando todas as equações por 5 para simplificar:
3a + 4b = 2 (1') 4a - 3b = 11 (2')
Agora, vamos resolver esse sistema de equações.

Passo 6

Vamos resolver pelo método da substituição ou da combinação. Vamos usar a combinação.
Multiplicando a equação (1’) por 3:
9a + 12b = 6 (3)
Multiplicando a equação (2’) por 4:
16a - 12b = 44 (4)
Somando as equações (3) e (4):
25a = 50 a = 2

Passo 7

Agora, substituindo 3(2) + 4b = 2 6 + 4b = 2 4b = -4 b = -1 na equação (1’):

Passo 8

Então, o gradiente da função no ponto dado é:
nabla f(0, pi2) = lang<= a, b rang<= = lang<= 2, -1 rang<=

Passo 9

Agora, para a parte b), queremos encontrar a derivada direcional na direção | a | = raiz1^2 + 1^2 = raiz2 u = 1raiz2 i + 1raiz2 j . Primeiro, vamos transformar em um vetor unitário.

Passo 10

Agora, aplicando novamente a fórmula da derivada direcional:
Du f = nabla f cdot u = lang<= 2, -1 rang<= cdot lang<= 1raiz2, 1raiz2 rang<= = 2 cdot 1raiz2 + (-1) cdot 1raiz2 = 2raiz2 - 1raiz2 = 1raiz2 = raiz22

Resposta

a)
b)

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