Determinar o comprimento de arco das seguintes curvas:
a) r(t) = (e^t cos(t), e^t sen(t), e^t), 0 <= t <= 1
b) r(t) = (2t^3, 2t, raiz(6)t^2), 0 <= t <= 3
c) r(t) = t i + sen(t) j + (1 + cos(t)) k, 0 <= t <= 2 pi
d) y = x^(3/2), z = 0 de P0(0,0,0) a P1(4, 8, 0)
e) x = t^3, y = t^2, 1 <= t <= 3
f) hélice circular vec{r}(t) = (2 cos(t), 4 t, 2) sent ) de I0(2,0,0) a P1(0, 2pi, 2)
g) um arco da ciclóide r(t) = 2(t - sen(t)) i + 2(1 - cos(t)) j
h) r(t) = (-sen(t), cos(t), 2) para t in [0, 2 pi]
i) r(t) = (t sen(t), t cos(t)) para t in [0, pi]
j) r(t) = (3t + 1)i + (t + 2)j para t in [0, 2]
k) vec(r)(t) = (e^t, e^(-t), t * raiz(2)), t in [0,1].

Passo 1

Então, vamos resolver o exercício de encontrar o comprimento de arco da curva definida por no intervalo . Isso faz parte do conteúdo de cálculo vetorial, mais especificamente sobre comprimento de arco de curvas parametrizadas. Para resolver, vamos precisar usar derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas das componentes da função vetorial . Ou seja, precisamos derivar cada uma das funções , e em relação a .

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula do comprimento de arco para curvas parametrizadas:
Nesse caso, e .

Passo 4

Substituindo as derivadas na fórmula:
Vamos simplificar dentro da raiz:
Expandindo os termos quadráticos:
Então:
Portanto, a integral fica:

Passo 5

Calculando a integral:
Aplicando os limites de integração:

Resposta

O comprimento de arco da curva é .

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