Determinar o comprimento de arco das seguintes curvas:
a)
b)
c)
d)
de
a
e)
f) hélice circular
sent
de
a
g) um arco da ciclóide
h)
para
i)
para
j)
para
k)
.
a)
b)
c)
d)
e)
f) hélice circular
g) um arco da ciclóide
h)
i)
j)
k)
Passo 1
Então, vamos resolver o exercício de encontrar o comprimento de arco da curva definida por no intervalo
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo vetorial, mais especificamente sobre comprimento de arco de curvas parametrizadas. Para resolver, vamos precisar usar derivadas e integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas das componentes da função vetorial
. Ou seja, precisamos derivar cada uma das funções
,
e
em relação a
.
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula do comprimento de arco para curvas parametrizadas:
Nesse caso,
e
.
Passo 4
Substituindo as derivadas na fórmula:
Vamos simplificar dentro da raiz:
Expandindo os termos quadráticos:
Então:
Portanto, a integral fica:
Passo 5
Calculando a integral:
Aplicando os limites de integração:
Resposta
O comprimento de arco da curva é
.
Exercícios relacionados
Sejam
e
dois vetores constantes. Determinar o vetor velocidade da partícula cujo movimento é descrito por:
a)
b) .
a)
b)
Uma partícula se move no espaço com vetor posição
. Determinar a velocidade e a aceleração da partícula em um instante
qualquer. Esboçar a trajetória da partícula e os vetores velocidade e aceleração para os valores indicados de
.
a)
b)
c)
d) .
a)
b)
c)
d)
Determinar uma equação para a reta normal à curva dada, nos pontos indicados:
Calcular
na direção
:
a)
b)
c) .
a)
b)
c)