Determinar o comprimento de arco das seguintes curvas:
a)
b)
c)
d) de a
e)
f) hélice circular sent de a
g) um arco da ciclóide
h) para
i) para
j) para
k) .

Passo 1

Então, vamos resolver o exercício de encontrar o comprimento de arco da curva definida por no intervalo . Isso faz parte do conteúdo de cálculo vetorial, mais especificamente sobre comprimento de arco de curvas parametrizadas. Para resolver, vamos precisar usar derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas das componentes da função vetorial . Ou seja, precisamos derivar cada uma das funções , e em relação a .

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula do comprimento de arco para curvas parametrizadas:
Nesse caso, e .

Passo 4

Substituindo as derivadas na fórmula:
Vamos simplificar dentro da raiz:
Expandindo os termos quadráticos:
Então:
Portanto, a integral fica:

Passo 5

Calculando a integral:
Aplicando os limites de integração:

Resposta

O comprimento de arco da curva é .

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Sejam e dois vetores constantes. Determinar o vetor velocidade da partícula cujo movimento é descrito por:
a)
b) .
Uma partícula se move no espaço com vetor posição . Determinar a velocidade e a aceleração da partícula em um instante qualquer. Esboçar a trajetória da partícula e os vetores velocidade e aceleração para os valores indicados de .
a)
b)
c)
d) .
Determinar uma equação para a reta normal à curva dada, nos pontos indicados:
Calcular na direção :
a)
b)
c) .