Determinar uma equação para a reta normal à curva dada, nos pontos indicados:
x^2 + y^2 = 4 ; P_n(2,0)

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a curva definida pela equação , que representa um círculo com raio 2. O ponto indicado é . Precisamos determinar a equação da reta normal a essa curva nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas para encontrar as inclinações das retas tangente e normal.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da curva para determinar a inclinação da reta tangente no ponto . A equação da curva é . Vamos diferenciar ambos os lados em relação a x:
Aqui, usamos a regra da cadeia para diferenciar y^2, já que y é uma função de x.

Passo 3

Agora, vamos isolar para encontrar a inclinação da reta tangente:
Essa é a expressão para a derivada da curva, que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto (x, y) da curva.

Passo 4

No ponto , substituímos x = 2 e na derivada para encontrar a inclinação da reta tangente:
Aqui, vemos que a derivada não está definida porque não podemos dividir por zero. Isso indica que a reta tangente no ponto é vertical.

Passo 5

Sabendo que a reta tangente é vertical, a reta normal será horizontal. Uma reta horizontal tem inclinação zero e é da forma , onde k é a coordenada y do ponto de tangência.

Resposta

A equação da reta normal à curva no ponto é:

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