Determinar uma equação para a reta normal à curva dada, nos pontos indicados:

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a curva definida pela equação , que representa um círculo com raio 2. O ponto indicado é . Precisamos determinar a equação da reta normal a essa curva nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas para encontrar as inclinações das retas tangente e normal.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da curva para determinar a inclinação da reta tangente no ponto . A equação da curva é . Vamos diferenciar ambos os lados em relação a :
Aqui, usamos a regra da cadeia para diferenciar , já que é uma função de .

Passo 3

Agora, vamos isolar para encontrar a inclinação da reta tangente:
Essa é a expressão para a derivada da curva, que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.

Passo 4

No ponto , substituímos e na derivada para encontrar a inclinação da reta tangente:
Aqui, vemos que a derivada não está definida porque não podemos dividir por zero. Isso indica que a reta tangente no ponto é vertical.

Passo 5

Sabendo que a reta tangente é vertical, a reta normal será horizontal. Uma reta horizontal tem inclinação zero e é da forma , onde é a coordenada do ponto de tangência.

Resposta

A equação da reta normal à curva no ponto é:

Exercícios relacionados

Determinar o comprimento de arco das seguintes curvas:
a)
b)
c)
d) de a
e)
f) hélice circular sent de a
g) um arco da ciclóide
h) para
i) para
j) para
k) .
Sejam e dois vetores constantes. Determinar o vetor velocidade da partícula cujo movimento é descrito por:
a)
b) .
Calcular na direção :
a)
b)
c) .
Em que direção e sentido a função dada cresce mais rapidamente no ponto dado? Em que direção e sentido decresce mais rapidamente?
a)
b) .