Determinar uma equação para a reta normal à curva dada, nos pontos indicados:
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a curva definida pela equação
, que representa um círculo com raio 2. O ponto indicado é
. Precisamos determinar a equação da reta normal a essa curva nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas para encontrar as inclinações das retas tangente e normal.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da curva para determinar a inclinação da reta tangente no ponto
. A equação da curva é
. Vamos diferenciar ambos os lados em relação a
:
Aqui, usamos a regra da cadeia para diferenciar
, já que
é uma função de
.
Passo 3
Agora, vamos isolar
para encontrar a inclinação da reta tangente:
Essa é a expressão para a derivada da curva, que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
da curva.
Passo 4
No ponto
, substituímos
e
na derivada para encontrar a inclinação da reta tangente:
Aqui, vemos que a derivada não está definida porque não podemos dividir por zero. Isso indica que a reta tangente no ponto
é vertical.
Passo 5
Sabendo que a reta tangente é vertical, a reta normal será horizontal. Uma reta horizontal tem inclinação zero e é da forma
, onde
é a coordenada
do ponto de tangência.
Resposta
A equação da reta normal à curva
no ponto
é:
Exercícios relacionados
Determinar o comprimento de arco das seguintes curvas:
a)
b)
c)
d) de
a
e)
f) hélice circular sent
de
a
g) um arco da ciclóide
h) para
i) para
j) para
k) .
a)
b)
c)
d)
e)
f) hélice circular
g) um arco da ciclóide
h)
i)
j)
k)
Sejam
e
dois vetores constantes. Determinar o vetor velocidade da partícula cujo movimento é descrito por:
a)
b) .
a)
b)
Calcular
na direção
:
a)
b)
c) .
a)
b)
c)
Em que direção e sentido a função dada cresce mais rapidamente no ponto dado? Em que direção e sentido decresce mais rapidamente?
a)
b) .
a)
b)