Em que direção e sentido a função dada cresce mais rapidamente no ponto dado? Em que direção e sentido decresce mais rapidamente?
a)
b) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pergunta em que direção e sentido a função cresce e decresce mais rapidamente nos pontos dados. A matéria aqui é de cálculo multivariável, especificamente sobre gradientes que nos dizem a direção de maior crescimento de uma função. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a e , que formarão o gradiente.

Passo 2

Parte a) A função é no ponto . Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais:

Passo 3

Agora, avaliamos o gradiente no ponto :
Então, o gradiente é .

Passo 4

A direção de crescimento mais rápido é na direção do próprio gradiente, ou seja, na direção de . Já para o decrescimento mais rápido, vai na direção oposta, que é .

Passo 5

Parte b) A função é no ponto . Vamos calcular as derivadas parciais:

Passo 6

Avaliando o gradiente no ponto :
Então, o gradiente é .

Passo 7

A direção de crescimento mais rápido é na direção de , ou simplesmente na direção positiva de . Para o decrescimento mais rápido, é na direção oposta, ou seja, na direção negativa de .

Resposta

b) A função cresce mais rapidamente na direção positiva de e decresce mais rapidamente na direção negativa de no ponto .

Exercícios relacionados

Calcular na direção :
a)
b)
c) .
Determinar uma equação para a reta normal à curva dada, nos pontos indicados:
Uma função diferenciável tem, no ponto , derivada direcional igual a na direção e igual a na direção . Calcular:
a)
b) na direção .