Em que direção e sentido a função dada cresce mais rapidamente no ponto dado? Em que direção e sentido decresce mais rapidamente?
a)
b)
.
a)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pergunta em que direção e sentido a função cresce e decresce mais rapidamente nos pontos dados. A matéria aqui é de cálculo multivariável, especificamente sobre gradientes que nos dizem a direção de maior crescimento de uma função. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
, que formarão o gradiente.
Passo 2
Parte a) A função é
no ponto
. Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 3
Agora, avaliamos o gradiente no ponto
:
Então, o gradiente é
.
Passo 4
A direção de crescimento mais rápido é na direção do próprio gradiente, ou seja, na direção de
. Já para o decrescimento mais rápido, vai na direção oposta, que é
.
Passo 5
Parte b) A função é
no ponto
. Vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 6
Avaliando o gradiente no ponto
:
Então, o gradiente é
.
Passo 7
A direção de crescimento mais rápido é na direção de
, ou simplesmente na direção positiva de
. Para o decrescimento mais rápido, é na direção oposta, ou seja, na direção negativa de
.
Resposta
b) A função cresce mais rapidamente na direção positiva de
e decresce mais rapidamente na direção negativa de
no ponto
.
Exercícios relacionados
Calcular
na direção
:
a)
b)
c) .
a)
b)
c)
Determinar uma equação para a reta normal à curva dada, nos pontos indicados:
Uma função diferenciável
tem, no ponto
, derivada direcional igual a
na direção
e igual a
na direção
. Calcular:
a)
b) na direção
.
a)
b)