Calcular
nâ direção
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo de derivadas parciais e derivadas direcionais. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o gradiente da função e normalizar o vetor direção.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de
em relação às suas variáveis. Então, calculamos:
Para nossa função
:
Então, o gradiente é:
No ponto
:
Passo 3
Agora, precisamos normalizar o vetor direção
. Normalizar significa transformar o vetor em um vetor unitário (com comprimento 1). A fórmula para a normalização é:
Primeiro, calculamos o módulo de
:
Então, o vetor unitário é:
Passo 4
A derivada direcional é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário na direção desejada. Ou seja:
Substituindo os valores que encontramos:
Então,
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção de
é: