Calcular partial fpartial s(x0, y0) nâ direção v=2 i-j :
f(x, y)=e^1 y ; (x0, y0)=(-1,2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo de derivadas parciais e derivadas direcionais. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o gradiente da função e normalizar o vetor direção.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y ) . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de partial fpartial x = 0 (porque f não depende de x) em relação às suas variáveis. Então, calculamos:
partial fpartial y = e^y
Para nossa função nabla f = (0, e^y) :
nabla f(-1, 2) = (0, e^2) ã
Então, o gradiente é:
No ponto :

Passo 3

Agora, precisamos normalizar o vetor direção u = v|v| . Normalizar significa transformar o vetor em um vetor unitário (com comprimento 1). A fórmula para a normalização é:
|v| = raiz2^2 + (-1)^2 = raiz4 + 1 = raiz5
Primeiro, calculamos o módulo de u = ( 2raiz5, -1raiz5 ) :
Então, o vetor unitário é:

Passo 4

A derivada direcional é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário na direção desejada. Ou seja:
Du f = nabla f cdot u
Substituindo os valores que encontramos:
nabla f(-1, 2) = (0, e^2)
u = ( 2raiz5, -1raiz5 )
Então,
Du f = 0 cdot 2raiz5 + e^2 cdot -1raiz5 = -e^2raiz5

Resposta

A derivada direcional de Dv f = -e^2raiz5 no ponto na direção de é:

Exercícios relacionados