Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo x, da região limitada por y = x^2 + 2, y = (x - 2)^2 e os eixos x = 0 e y = 0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o volume de um sólido que é formado ao girar uma região ao redor do eixo x. Essa região está limitada pelas curvas , , pelas retas x = 0 e . Vamos usar cálculo integral para resolver isso, especificamente o método dos discos ou das arandelas, que ajudam a encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Vamos começar desenhando as curvas para visualizar melhor a região. A curva é uma parábola que abre para cima e está deslocada 2 unidades para cima. A curva também é uma parábola que abre para cima, mas está deslocada 2 unidades para a direita. As retas x = 0 (o eixo y) e (o eixo x) ajudam a fechar a região que vamos girar.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os pontos onde essas curvas se intersectam para determinar os limites de integração. Vamos igualar e resolver para x:
Então, as curvas se intersectam em .

Passo 4

Para calcular o volume, usaremos o método dos discos. Como estamos girando em torno do eixo x, a fórmula para o volume é:
Aqui, f(x) é a função que está mais longe do eixo x e g(x) a que está mais perto.

Passo 5

Identificamos qual função está acima e qual está abaixo no intervalo de integração. Para x entre 0 e 1/2, está acima de . Então, configuramos a integral:

Passo 6

Vamos resolver a integral:

Resposta

O volume do sólido gerado é unidades cúbicas.

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