Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região limitada por
e os eixos
e
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o volume de um sólido que é formado ao girar uma região ao redor do eixo
. Essa região está limitada pelas curvas
,
, pelas retas
e
. Vamos usar cálculo integral para resolver isso, especificamente o método dos discos ou das arandelas, que ajudam a encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Vamos começar desenhando as curvas para visualizar melhor a região. A curva
é uma parábola que abre para cima e está deslocada 2 unidades para cima. A curva
também é uma parábola que abre para cima, mas está deslocada 2 unidades para a direita. As retas
(o eixo
) e
(o eixo
) ajudam a fechar a região que vamos girar.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os pontos onde essas curvas se intersectam para determinar os limites de integração. Vamos igualar
e resolver para
:
Então, as curvas se intersectam em
.
Passo 4
Para calcular o volume, usaremos o método dos discos. Como estamos girando em torno do eixo
, a fórmula para o volume é:
Aqui,
é a função que está mais longe do eixo
e
a que está mais perto.
Passo 5
Identificamos qual função está acima e qual está abaixo no intervalo de integração. Para
entre 0 e
,
está acima de
. Então, configuramos a integral:
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Resposta
O volume do sólido gerado é
unidades cúbicas.