Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada. Como parece que as soluções se comportam quando
assume valores grandes? O comportamento depende da escolha do valor inicial
? Seja
o valor de
no qual ocorre a transição de um tipo de comportamento para outro. Estime o valor de
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo
com a condição inicial
. O que a questão quer é que a gente desenhe o campo de direções dessa equação, entenda como as soluções se comportam quando
fica grande, veja se esse comportamento muda dependendo de
, e encontrar o valor de
onde essa mudança acontece. Para resolver tudo isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares de primeira ordem e analisar o comportamento assintótico das soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial para achar a solução geral. A equação que temos é
. Vamos reescrever isso para facilitar:
Essa é uma equação diferencial linear da forma
, onde
e
.
Passo 3
Para resolver essa equação, usamos o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Agora, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 4
Integrando ambos os lados em relação a
:
A integral é:
Então, temos:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 5
Agora aplicamos a condição inicial
:
Então, a solução particular é:
Passo 6
Vamos analisar o comportamento quando
fica grande. Note que
cresce mais rápido que
. Portanto, se o coeficiente de
for positivo (
), a solução vai crescer sem limites. Se for negativo (
), a solução vai decair para zero. O caso crítico é quando
, ou seja,
.
Resposta
O valor de
onde ocorre a transição no comportamento das soluções é
.