Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada. Como parece que as soluções se comportam quando t assume valores grandes? O comportamento depende da escolha do valor inicial a? Seja a0 o valor de a no qual ocorre a transição de um tipo de comportamento para outro. Estime o valor de a0. 2 y' - y = e^(t / 3), y(0) = a

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo com a condição inicial . O que a questão quer é que a gente desenhe o campo de direções dessa equação, entenda como as soluções se comportam quando fica grande, veja se esse comportamento muda dependendo de , e encontrar o valor de onde essa mudança acontece. Para resolver tudo isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares de primeira ordem e analisar o comportamento assintótico das soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial para achar a solução geral. A equação que temos é . Vamos reescrever isso para facilitar:
Essa é uma equação diferencial linear da forma , onde e .

Passo 3

Para resolver essa equação, usamos o fator integrante. O fator integrante é dado por:
Agora, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 4

Integrando ambos os lados em relação a :
A integral é:
Então, temos:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 5

Agora aplicamos a condição inicial :
Então, a solução particular é:

Passo 6

Vamos analisar o comportamento quando fica grande. Note que cresce mais rápido que . Portanto, se o coeficiente de for positivo ( ), a solução vai crescer sem limites. Se for negativo ( ), a solução vai decair para zero. O caso crítico é quando , ou seja, .

Resposta

O valor de onde ocorre a transição no comportamento das soluções é .

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