Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A gente tem uma função definida por uma integral:
E o que a gente precisa encontrar é a derivada dessa função em , ou seja, . Para resolver isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, mais especificamente a regra de Leibniz para diferenciação de integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a regra de Leibniz. Se você tem uma função que é uma integral com limites que dependem de , tipo:
Então a derivada dessa função em relação a é:
No nosso caso, a função tem o limite inferior constante, , e o limite superior que depende de , que é . Então, a derivada ficará mais simples porque o termo envolvendo vai desaparecer (já que e ).
Passo 3
Aplicando a regra de Leibniz ao nosso caso:
Ou seja, a derivada de é o valor da função dentro da integral avaliada no limite superior, multiplicado pela derivada desse limite superior em relação a .
Passo 4
Vamos calcular a derivada do limite superior:
ddx( 12 x^2 e^x-1 )
Primeiro, identifique que temos um produto de duas funções de ddx( 12 x^2 ) cdot e^x-1 + 12 x^2 cdot ddx( e^x-1 ) : x cdot e^x-1 + 12 x^2 cdot e^x-1 = e^x-1 (x + 12 x^2) e . Usamos a regra do produto para derivar:
Em seguida, precisamos avaliar a função dentro da integral no limite superior para t^2[4+sen(pi t)]^2 g|t = 12 cdot 1^2 cdot e^1-1 = t^2[4+sen(pi t)]^2 g|t = 12 cdot 1 cdot e^0 = t^2[4+sen(pi t)]^2 g|t = 12 :