Seja
f(x)=integral-2^12 x^2 e^x-1 t^2[4+sen(pi t)]^2 d t
Sem calcular a integral, calcule f^prime(1).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A gente tem uma função definida por uma integral:
f(x) = integral-2^12 x^2 e^x-1 t^2[4+sen(pi t)]^2 , dt
E o que a gente precisa encontrar é a derivada dessa função em , ou seja, . Para resolver isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, mais especificamente a regra de Leibniz para diferenciação de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a regra de Leibniz. Se você tem uma função que é uma integral com limites que dependem de F(x) = integrala(x)^b(x) g(t) , dt , tipo:
F'(x) = g(b(x)) cdot b'(x) - g(a(x)) cdot a'(x)
Então a derivada dessa função em relação a é:
No nosso caso, a função tem o limite inferior constante, , e o limite superior que depende de , que é . Então, a derivada ficará mais simples porque o termo envolvendo vai desaparecer (já que e ).

Passo 3

Aplicando a regra de Leibniz ao nosso caso:
f'(x) = t^2[4+sen(pi t)]^2 g|t = 12 x^2 e^x-1 cdot ddx( 12 x^2 e^x-1 )
Ou seja, a derivada de é o valor da função dentro da integral avaliada no limite superior, multiplicado pela derivada desse limite superior em relação a .

Passo 4

Vamos calcular a derivada do limite superior:
ddx( 12 x^2 e^x-1 )
Primeiro, identifique que temos um produto de duas funções de ddx( 12 x^2 ) cdot e^x-1 + 12 x^2 cdot ddx( e^x-1 ) : x cdot e^x-1 + 12 x^2 cdot e^x-1 = e^x-1 (x + 12 x^2) e . Usamos a regra do produto para derivar:
Calculando cada parte:
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
Então:

Passo 5

Agora, vamos substituir e^1-1 (1 + 12 cdot 1^2) = e^0 (1 + 12) = 1 cdot 32 = 32 nessa expressão:

Passo 6

Em seguida, precisamos avaliar a função dentro da integral no limite superior para t^2[4+sen(pi t)]^2 g|t = 12 cdot 1^2 cdot e^1-1 = t^2[4+sen(pi t)]^2 g|t = 12 cdot 1 cdot e^0 = t^2[4+sen(pi t)]^2 g|t = 12 :
t = 12
Porque , então:

Passo 7

Agora, substituímos ( 12 )^2[4 + sen( pi cdot 12 )]^2 = 14[4 + sen( pi2 )]^2 = 14[4 + 1]^2 = 1425 = 1100 na função:
Porque .

Passo 8

Finalmente, juntando tudo, temos:
f'(1) = 1100 cdot 32 = 3200

Resposta

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