Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a derivada direcional de uma função no ponto na direção do vetor . Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, especificamente das derivadas parciais e derivadas direcionais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a fórmula da derivada direcional e como normalizar um vetor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivada direcional. Ela nos diz a taxa de variação da função em uma direção específica a partir de um ponto dado. Para calcular isso, usamos a seguinte fórmula:
Aqui, é o vetor gradiente da função , que contém as derivadas parciais de em relação a e , e é o vetor unitário na direção de .
Passo 3
Agora, vamos normalizar o vetor para encontrar . A normalização de um vetor é feita dividindo cada componente do vetor pelo seu módulo (comprimento).
Primeiro, calculamos o módulo de :
Então, o vetor unitário é:
Passo 4
Em seguida, precisamos do vetor gradiente no ponto . O vetor gradiente é dado por:
Então, no ponto , temos:
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula da derivada direcional:
partial fpartial v(x0, y0) = nabla f(x0, y0) cdot v
Isso significa que multiplicamos cada componente do gradiente pela correspondente componente do vetor unitário e somamos os resultados:
partial fpartial v(x0, y0) = 2raiz5 partial fpartial x |(x0, y0) - 1raiz5 partial fpartial y |(x0, y0)
Resposta
Então, a derivada direcional de partial fpartial v(x0, y0) = 2raiz5 partial fpartial x |(x0, y0) - 1raiz5 partial fpartial y |(x0, y0) no ponto na direção de é: