Calcular partial fpartial s(x0, y0) na direção v=2 i-j :

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a derivada direcional de uma função no ponto na direção do vetor . Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, especificamente das derivadas parciais e derivadas direcionais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a fórmula da derivada direcional e como normalizar um vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada direcional. Ela nos diz a taxa de variação da função partial fpartial v = nabla f cdot v em uma direção específica a partir de um ponto dado. Para calcular isso, usamos a seguinte fórmula:
Aqui, é o vetor gradiente da função , que contém as derivadas parciais de em relação a e , e é o vetor unitário na direção de .

Passo 3

Agora, vamos normalizar o vetor |v| = raiz2^2 + (-1)^2 = raiz4 + 1 = raiz5 para encontrar v = 1raiz5 (2i - j) = ( 2raiz5, -1raiz5 ) . A normalização de um vetor é feita dividindo cada componente do vetor pelo seu módulo (comprimento).
Primeiro, calculamos o módulo de :
Então, o vetor unitário é:

Passo 4

Em seguida, precisamos do vetor gradiente nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y ) no ponto nabla f(x0, y0) = ( partial fpartial x |(x0, y0), partial fpartial y |(x0, y0) ) . O vetor gradiente é dado por:
Então, no ponto , temos:

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da derivada direcional:
partial fpartial v(x0, y0) = nabla f(x0, y0) cdot v
Isso significa que multiplicamos cada componente do gradiente pela correspondente componente do vetor unitário e somamos os resultados:
partial fpartial v(x0, y0) = ( partial fpartial x |(x0, y0) cdot 2raiz5 ) + ( partial fpartial y |(x0, y0) cdot -1raiz5 )

Passo 6

Por fim, simplificamos a expressão:
partial fpartial v(x0, y0) = 2raiz5 partial fpartial x |(x0, y0) - 1raiz5 partial fpartial y |(x0, y0)

Resposta

Então, a derivada direcional de partial fpartial v(x0, y0) = 2raiz5 partial fpartial x |(x0, y0) - 1raiz5 partial fpartial y |(x0, y0) no ponto na direção de é:

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