Calcule
, em que
é uma curva
por partes, com imagem contida no conjunto
, tal que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha:
Onde
é uma curva que começa em
e termina em
, e está contida no conjunto
. Vamos usar conceitos de integrais de linha e formas diferenciais para resolver isso. Precisaremos entender um pouco sobre campos vetoriais e como calcular integrais em trajetórias específicas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão que estamos integrando:
Isso pode ser interpretado como o trabalho de um campo vetorial
ao longo da curva
, onde:
Passo 3
Agora, vamos verificar se esse campo vetorial é conservativo. Para isso, precisamos calcular a derivada cruzada (o “rotacional” em duas dimensões):
Calculando cada derivada:
Subtraindo as duas, vemos que o rotacional é zero:
Isso indica que o campo
é conservativo desde que o domínio seja simplesmente conexo.
Passo 4
Entretanto, nosso domínio
não é simplesmente conexo. Ele exclui a região onde
e
, o que cria uma “quebra” no domínio. Nesse caso, mesmo com o campo sendo conservativo, a integral pode depender do caminho escolhido.
Passo 5
Para calcular a integral, vamos buscar uma função potencial
tal que:
Isso significa que:
Integrando
em relação a
:
Onde
é uma função de
só. Agora, derivando
em relação a
:
Comparando com
, vemos que
, então
é constante. Podemos ignorar essa constante para nossa finalidade.
Então, a função potencial é:
Passo 6
Agora, usando o teorema fundamental das integrais de linha, temos:
Sabendo que
e
, vamos calcular
nesses pontos.
Passo 7
Calculando
:
Calculando
:
Passo 8
Agora, subtraindo os valores:
Resposta
A integral vale 0.