Calcule
integralgamma -yx^2+y^2 d x+xx^2+y^2 d y, em que gamma:[0,1] R^2 é uma curva C^1 por partes, com imagem contida no conjunto Omega =(x, y) in R^2 mid y>0 cup(x, y) in R^2 mid x<0, tal que gamma(0)=(1,1) e gamma(1)=(-1,-1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha:
integralgamma -yx^2+y^2 , dx + xx^2+y^2 , dy
Onde é uma curva que começa em e termina em , e está contida no conjunto . Vamos usar conceitos de integrais de linha e formas diferenciais para resolver isso. Precisaremos entender um pouco sobre campos vetoriais e como calcular integrais em trajetórias específicas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão que estamos integrando:
-yx^2+y^2 , dx + xx^2+y^2 , dy
Isso pode ser interpretado como o trabalho de um campo vetorial F(x, y) = ( -yx^2+y^2, xx^2+y^2 ) ao longo da curva , onde:

Passo 3

Agora, vamos verificar se esse campo vetorial é conservativo. Para isso, precisamos calcular a derivada cruzada (o “rotacional” em duas dimensões):
partialpartial x( xx^2+y^2 ) - partialpartial y( -yx^2+y^2 )
Calculando cada derivada:
partialpartial x( xx^2+y^2 ) = (1)(x^2+y^2) - x(2x)(x^2+y^2)^2 = y^2 - x^2(x^2+y^2)^2
partialpartial y( -yx^2+y^2 ) = (-1)(x^2+y^2) - (-y)(2y)(x^2+y^2)^2 = -x^2 + y^2(x^2+y^2)^2
Subtraindo as duas, vemos que o rotacional é zero:
y^2 - x^2(x^2+y^2)^2 - -x^2 + y^2(x^2+y^2)^2 = 0
Isso indica que o campo é conservativo desde que o domínio seja simplesmente conexo.

Passo 4

Entretanto, nosso domínio não é simplesmente conexo. Ele exclui a região onde e , o que cria uma “quebra” no domínio. Nesse caso, mesmo com o campo sendo conservativo, a integral pode depender do caminho escolhido.

Passo 5

Para calcular a integral, vamos buscar uma função potencial F = nabla f tal que:
partial fpartial x = -yx^2+y^2 e partial fpartial y = xx^2+y^2
Isso significa que:
f(x, y) = integral -yx^2+y^2 , dx = -arctan(xy) + g(y)
Integrando partial fpartial y = --xx^2+y^2 + g'(y) = xx^2+y^2 + g'(y) em relação a f(x, y) = -arctan(xy) :
Onde é uma função de só. Agora, derivando em relação a :
Comparando com , vemos que , então é constante. Podemos ignorar essa constante para nossa finalidade.
Então, a função potencial é:

Passo 6

Agora, usando o teorema fundamental das integrais de linha, temos:
integralgamma F cdot dr = f(gamma(1)) - f(gamma(0))
Sabendo que e , vamos calcular nesses pontos.

Passo 7

Calculando f(1,1) = -arctan(11) = -arctan(1) = -pi4 :
f(-1,-1) = -arctan(-1-1) = -arctan(1) = -pi4
Calculando :

Passo 8

Agora, subtraindo os valores:
f(-1,-1) - f(1,1) = (-pi4) - (-pi4) = 0

Resposta

A integral vale 0.

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