Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas. Decida quando integrar em relação a
ou
. Desenhe um retângulo aproximante típico e identifique sua altura e largura. Então, calcule a área da região.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a região limitada pelas curvas
,
, e as retas verticais
e
. Depois, vamos decidir se a gente integra em relação a
ou
, desenhar um retângulo típico pra ajudar na visualização, e, por fim, calcular a área dessa região. Para isso, vamos precisar dos conhecimentos de cálculo integral, especialmente sobre integração de funções e áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como são essas curvas. A curva
é uma exponencial que cresce rapidamente, e
é uma parábola que abre para cima e está deslocada uma unidade para baixo. Além disso, temos as retas verticais
e
que vão delimitar nosso intervalo de integração.
Passo 3
Vamos encontrar onde as curvas
e
se encontram, ou seja, resolver a equação
. Isso geralmente exige métodos numéricos, mas podemos esboçar rapidamente para ver que elas se cruzam em algum ponto entre
e
.
Passo 4
Agora, decidimos integrar em relação a
porque as retas de
e
são verticais, o que torna a integração mais direta nesse caso. Se fosse em relação a
, teríamos que lidar com expressões mais complicadas.
Passo 5
Vamos desenhar um retângulo típico. Nesse caso, a largura do retângulo será um pequeno intervalo de
, e a altura será a diferença entre as duas funções
e
. Então, a altura é
.
Passo 6
Para calcular a área, integramos essa altura de
a
:
Passo 7
Vamos calcular a integral:
Então, a área fica:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas é
unidades quadradas.
Exercícios relacionados
Calcular
na direção
:
Resolva as equações por separação de variáveis:
Reduza as seguintes equações diferenciais à forma canônica e determine as suas soluções quando possível:
Reduza as seguintes equações diferenciais à forma canônica e determine as suas soluções quando possível: