Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas. Decida quando integrar em relação a x ou y. Desenhe um retângulo aproximante típico e identifique sua altura e largura. Então, calcule a área da região.
y=e^x, y=x^2-1, x=-1, x=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a região limitada pelas curvas , , e as retas verticais e . Depois, vamos decidir se a gente integra em relação a ou , desenhar um retângulo típico pra ajudar na visualização, e, por fim, calcular a área dessa região. Para isso, vamos precisar dos conhecimentos de cálculo integral, especialmente sobre integração de funções e áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como são essas curvas. A curva é uma exponencial que cresce rapidamente, e é uma parábola que abre para cima e está deslocada uma unidade para baixo. Além disso, temos as retas verticais e que vão delimitar nosso intervalo de integração.

Passo 3

Vamos encontrar onde as curvas e se encontram, ou seja, resolver a equação . Isso geralmente exige métodos numéricos, mas podemos esboçar rapidamente para ver que elas se cruzam em algum ponto entre e .

Passo 4

Agora, decidimos integrar em relação a porque as retas de e são verticais, o que torna a integração mais direta nesse caso. Se fosse em relação a , teríamos que lidar com expressões mais complicadas.

Passo 5

Vamos desenhar um retângulo típico. Nesse caso, a largura do retângulo será um pequeno intervalo de , e a altura será a diferença entre as duas funções e . Então, a altura é .

Passo 6

Para calcular a área, integramos essa altura de a :
Á

Passo 7

Vamos calcular a integral:
Então, a área fica:
Á

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é unidades quadradas.

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