Reduza as seguintes equações diferenciais à forma canônica e determine as suas soluções quando possível:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é a seguinte:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais parciais de segunda ordem. O objetivo é reduzir essa equação para a forma canônica, que é uma maneira mais simples de analisar e resolver a equação. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos sobre equações diferenciais e como transformá-las.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da nossa equação:
-
(coeficiente de ) -
(coeficiente de , já que na forma geral é ) -
(coeficiente de )
Passo 3
Agora, vamos calcular o discriminante
da equação, que ajuda a determinar o tipo da equação diferencial. A fórmula para o discriminante é:
Substituindo os valores:
Como
, sabemos que a equação é do tipo hiperbólica.
Passo 4
Para reduzir a equação à forma canônica, precisamos encontrar uma mudança de variáveis que elimine o termo misto
. Vamos definir novas variáveis
e
da seguinte maneira:
Nosso objetivo é escolher
e
de forma que, após a substituição, a equação não tenha mais o termo
.
Passo 5
Aplicando a mudança de variáveis, substituímos as derivadas:
Substituindo na equação original:
Passo 6
Agrupando os termos semelhantes:
Para eliminar o termo
, devemos ter:
Escolhemos, por simplicidade,
e
. Então:
Vamos escolher
e, portanto,
.
Passo 7
Com
,
,
, e
, a mudança de variáveis fica:
No entanto, essa escolha não elimina o termo misto. Para corrigir isso, vamos tentar outra abordagem escolhendo
,
,
, e
:
Substituindo esses valores na equação, verificamos que o termo
é eliminado, e a equação reduz para a forma canônica:
Passo 8
Agora que temos a equação na forma canônica
, podemos encontrar a solução geral. Essa é uma equação hiperbólica clássica, cuja solução geral é a soma de funções que dependem apenas de
e
:
Substituindo de volta as variáveis originais
e
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são funções arbitrárias que podem ser determinadas a partir de condições adicionais.
Exercícios relacionados
Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas. Decida quando integrar em relação a
ou
. Desenhe um retângulo aproximante típico e identifique sua altura e largura. Então, calcule a área da região.
Calcular
na direção
:
Reduza as seguintes equações diferenciais à forma canônica e determine as suas soluções quando possível:
Reduza as seguintes equações diferenciais à forma canônica e determine as suas soluções quando possível: