Reduza as seguintes equações diferenciais à forma canônica e determine as suas soluções quando possível:
u_xx + u_xy - 2 u_yy = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é a seguinte:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais parciais de segunda ordem. O objetivo é reduzir essa equação para a forma canônica, que é uma maneira mais simples de analisar e resolver a equação. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos sobre equações diferenciais e como transformá-las.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da nossa equação:
  • (coeficiente de )
  • (coeficiente de , já que na forma geral é )
  • (coeficiente de )

Passo 3

Agora, vamos calcular o discriminante da equação, que ajuda a determinar o tipo da equação diferencial. A fórmula para o discriminante é:
Substituindo os valores:
Como , sabemos que a equação é do tipo hiperbólica.

Passo 4

Para reduzir a equação à forma canônica, precisamos encontrar uma mudança de variáveis que elimine o termo misto . Vamos definir novas variáveis e da seguinte maneira:
Nosso objetivo é escolher e de forma que, após a substituição, a equação não tenha mais o termo .

Passo 5

Aplicando a mudança de variáveis, substituímos as derivadas:
Substituindo na equação original:

Passo 6

Agrupando os termos semelhantes:
Para eliminar o termo , devemos ter:
Escolhemos, por simplicidade, e . Então:
Vamos escolher e, portanto, .

Passo 7

Com , , , e , a mudança de variáveis fica:
No entanto, essa escolha não elimina o termo misto. Para corrigir isso, vamos tentar outra abordagem escolhendo , , , e :
Substituindo esses valores na equação, verificamos que o termo é eliminado, e a equação reduz para a forma canônica:

Passo 8

Agora que temos a equação na forma canônica , podemos encontrar a solução geral. Essa é uma equação hiperbólica clássica, cuja solução geral é a soma de funções que dependem apenas de e :
Substituindo de volta as variáveis originais e :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são funções arbitrárias que podem ser determinadas a partir de condições adicionais.

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Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas. Decida quando integrar em relação a x ou y. Desenhe um retângulo aproximante típico e identifique sua altura e largura. Então, calcule a área da região.
y=e^x, y=x^2-1, x=-1, x=1
Calcular partial fpartial s(x0, y0) na direção v=2 i-j :
Reduza as seguintes equações diferenciais à forma canônica e determine as suas soluções quando possível:
u_xx - 2 u_xy + u_yy = 0
Reduza as seguintes equações diferenciais à forma canônica e determine as suas soluções quando possível:
x u_xy - y u_yy = 0