Resolva as equações por separação de variáveis:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem uma equação diferencial que precisa resolver usando separação de variáveis. A equação é:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos separar as variáveis
e
e integrar para achar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar o termo
na equação:
Isso nos ajuda a visualizar melhor como separar as variáveis.
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Isso significa que vamos colocar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro lado. Dividindo ambos os lados por
, fica:
Assim, conseguimos separar
e
em lados opostos da equação.
Passo 4
O próximo passo é integrar ambos os lados da equação. Vamos integrar em relação a
no lado esquerdo e em relação a
no lado direito:
Vamos resolver cada integral separadamente.
Passo 5
Começando pela integral da esquerda:
A integral de
é:
Agora, integrando o lado direito:
Passo 6
Juntando as duas integrais, temos:
Podemos simplificar as constantes
e
em uma única constante
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Multiplicando por 3:
Passo 7
Agora, vamos resolver para
. Primeiro, aplicamos o logaritmo natural dos dois lados:
Finalmente, isolando
:
Podemos reescrever a constante
como outro símbolo, já que
também é uma constante qualquer.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante de integração.
Exercícios relacionados
Calcule
, em que
é uma curva
por partes, com imagem contida no conjunto
, tal que
e
.
Calcule as integrais indefinidas.
Calcular
na direção
:
Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas. Decida quando integrar em relação a
ou
. Desenhe um retângulo aproximante típico e identifique sua altura e largura. Então, calcule a área da região.