Resolva as equações por separação de variáveis: dx/dy + e^(3x) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem uma equação diferencial que precisa resolver usando separação de variáveis. A equação é:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos separar as variáveis e e integrar para achar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar o termo na equação:
Isso nos ajuda a visualizar melhor como separar as variáveis.

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e . Isso significa que vamos colocar todos os termos com de um lado e os termos com do outro lado. Dividindo ambos os lados por , fica:
Assim, conseguimos separar e em lados opostos da equação.

Passo 4

O próximo passo é integrar ambos os lados da equação. Vamos integrar em relação a no lado esquerdo e em relação a no lado direito:
Vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 5

Começando pela integral da esquerda:
A integral de é:
Agora, integrando o lado direito:

Passo 6

Juntando as duas integrais, temos:
Podemos simplificar as constantes e em uma única constante :
Multiplicando ambos os lados por :
Multiplicando por 3:

Passo 7

Agora, vamos resolver para . Primeiro, aplicamos o logaritmo natural dos dois lados:
Finalmente, isolando :
Podemos reescrever a constante como outro símbolo, já que também é uma constante qualquer.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante de integração.

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Calcule
integralgamma -yx^2+y^2 d x+xx^2+y^2 d y, em que gamma:[0,1] R^2 é uma curva C^1 por partes, com imagem contida no conjunto Omega =(x, y) in R^2 mid y>0 cup(x, y) in R^2 mid x<0, tal que gamma(0)=(1,1) e gamma(1)=(-1,-1).
Calcule as integrais indefinidas.
integral e^sen(theta) cos (theta) d theta
Calcular partial fpartial s(x0, y0) na direção v=2 i-j :
Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas. Decida quando integrar em relação a x ou y. Desenhe um retângulo aproximante típico e identifique sua altura e largura. Então, calcule a área da região.
y=e^x, y=x^2-1, x=-1, x=1