Calcular o polinômio característico e os valores próprios da matriz:
$$
\left(\begin{array}{rrrr}
2 & 1 & 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer é calcular o polinômio característico e encontrar os valores próprios da matriz que você me passou. Basicamente, isso envolve entender sobre matrizes quadradas, determinantes e como encontrar os autovalores dessa matriz. Vamos precisar usar um pouco de álgebra linear, como a fórmula do determinante e resolver equações polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz que precisamos trabalhar. Pelo que você enviou, parece que temos uma matriz 3x3. Vamos supor que ela seja assim:
A = 2 & 1 & 0 1 & 2 & 1 0 & 1 & 2

Passo 3

Agora, para encontrar o polinômio característico, precisamos calcular o determinante da matriz A - lambda I = 2 - lambda & 1 & 0 1 & 2 - lambda & 1 0 & 1 & 2 - lambda , onde é um número qualquer e é a matriz identidade do mesmo tamanho que . Ou seja:

Passo 4

Vamos calcular o determinante dessa nova matriz det(A - lambda I) = 2 - lambda & 1 & 0 1 & 2 - lambda & 1 0 & 1 & 2 - lambda :
det(A - lambda I) = (2 - lambda) cdot 2 - lambda & 1 1 & 2 - lambda - 1 cdot 1 & 1 0 & 2 - lambda + 0 cdot 1 & 2 - lambda 0 & 1
Para calcular esse determinante, vamos expandir pela primeira linha:

Passo 5

Vamos calcular cada um desses menores:
  1. Primeiro menor:
    2 - lambda & 1 1 & 2 - lambda = (2 - lambda)(2 - lambda) - (1)(1) = (2 - lambda)^2 - 1
  2. Segundo menor:
    1 & 1 0 & 2 - lambda = (1)(2 - lambda) - (1)(0) = 2 - lambda
  3. Terceiro menor:
    Não precisamos calcular porque será multiplicado por 0.

Passo 6

Substituindo os valores dos menores no determinante:
det(A - lambda I) = (2 - lambda)[(2 - lambda)^2 - 1] - 1(2 - lambda) + 0
Simplificando:
det(A - lambda I) = (2 - lambda)[(2 - lambda)^2 - 1] - (2 - lambda)

Passo 7

Vamos expandir (2 - lambda)^2 = 4 - 4lambda + lambda^2 :
det(A - lambda I) = (2 - lambda)(4 - 4lambda + lambda^2 - 1) - (2 - lambda) = (2 - lambda)(3 - 4lambda + lambda^2) - (2 - lambda)
Então:

Passo 8

Fatorando det(A - lambda I) = (2 - lambda)(3 - 4lambda + lambda^2 - 1) = (2 - lambda)(2 - 4lambda + lambda^2) :
det(A - lambda I) = (2 - lambda)(3 - 4lambda + lambda^2) - (2 - lambda)
Voltando à expressão anterior:
det(A - lambda I) = (2 - lambda)[(3 - 4lambda + lambda^2) - 1] = (2 - lambda)(2 - 4lambda + lambda^2)
Podemos fatorar :

Passo 9

Agora, vamos montar o polinômio característico:
det(A - lambda I) = (2 - lambda)(lambda^2 - 4lambda + 2)
Para encontrar os valores próprios, precisamos resolver a equação:
(2 - lambda)(lambda^2 - 4lambda + 2) = 0

Passo 10

Resolvendo a equação:
  1. Primeiro fator:
    2 - lambda = 0 Rightarrow lambda = 2
  2. Segundo fator:
    lambda^2 - 4lambda + 2 = 0
    Usando a fórmula de Bhaskara:
    lambda = 4 pm raiz16 - 82 = 4 pm raiz82 = 4 pm 2raiz22 = 2 pm raiz2

Resposta

O polinômio característico da matriz é lambda1 = 2 e os valores próprios são:
lambda2 = 2 + raiz2
lambda3 = 2 - raiz2

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