Verifique se os conjuntos de vetores em são LI ou LD:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se os vetores dados em são Linearmente Independentes (LI) ou Linearmente Dependentes (LD). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente o teste de independência linear, que envolve resolver um sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever os vetores como colunas de uma matriz. Assim, temos:
Passo 3
Agora, precisamos verificar se existe uma combinação linear não trivial desses vetores que resulte no vetor zero. Em outras palavras, queremos saber se existem escalares c1(-2, 0, 1) + c2(3, 2, 5) + c3(6, -1, 1) + c4(7, 0, 2) = (0, 0, 0) , não todos iguais a zero, tais que:
Passo 4
Para resolver isso, montamos o sistema de equações:
Em seguida, vamos eliminar o segundo elemento da terceira linha. Para isso, multiplicamos a segunda linha por Linha 3 = Linha 3 - 132 times Linha 2 e subtraímos da terceira:
Agora, observamos que temos uma linha onde os coeficientes não estão todos zero, indicando que o sistema tem soluções não triviais. Isso significa que existe uma combinação linear dos vetores que resulta no vetor zero, além da solução trivial onde todos os .