Verifique se os conjuntos de vetores em R^3 são LI ou LD:
(-2,0,1),(3,2,5),(6,-1,1),(7,0,2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se os vetores dados em são Linearmente Independentes (LI) ou Linearmente Dependentes (LD). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente o teste de independência linear, que envolve resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever os vetores como colunas de uma matriz. Assim, temos:
A = -2 & 3 & 6 & 7 0 & 2 & -1 & 0 1 & 5 & 1 & 2

Passo 3

Agora, precisamos verificar se existe uma combinação linear não trivial desses vetores que resulte no vetor zero. Em outras palavras, queremos saber se existem escalares c1(-2, 0, 1) + c2(3, 2, 5) + c3(6, -1, 1) + c4(7, 0, 2) = (0, 0, 0) , não todos iguais a zero, tais que:

Passo 4

Para resolver isso, montamos o sistema de equações:
-2c1 + 3c2 + 6c3 + 7c4 = 0 0c1 + 2c2 - c3 + 0c4 = 0 c1 + 5c2 + c3 + 2c4 = 0

Passo 5

Vamos resolver esse sistema usando o método da matriz aumentada e escalonamento. A matriz aumentada fica:
-2 & 3 & 6 & 7 & | & 0 0 & 2 & -1 & 0 & | & 0 1 & 5 & 1 & 2 & | & 0

Passo 6

Primeiro, vamos trocar a primeira e a terceira linha para facilitar os cálculos:
1 & 5 & 1 & 2 & | & 0 0 & 2 & -1 & 0 & | & 0 -2 & 3 & 6 & 7 & | & 0

Passo 7

Agora, vamos eliminar o primeiro elemento da terceira linha. Multiplicamos a primeira linha por 2 e somamos à terceira:
Linha 3 = Linha 3 + 2 times Linha 1
1 & 5 & 1 & 2 & | & 0 0 & 2 & -1 & 0 & | & 0 0 & 13 & 8 & 11 & | & 0

Passo 8

Em seguida, vamos eliminar o segundo elemento da terceira linha. Para isso, multiplicamos a segunda linha por Linha 3 = Linha 3 - 132 times Linha 2 e subtraímos da terceira:
1 & 5 & 1 & 2 & | & 0 0 & 2 & -1 & 0 & | & 0 0 & 0 & 212 & 11 & | & 0

Passo 9

Agora, observamos que temos uma linha onde os coeficientes não estão todos zero, indicando que o sistema tem soluções não triviais. Isso significa que existe uma combinação linear dos vetores que resulta no vetor zero, além da solução trivial onde todos os .

Resposta

Os vetores são Linearmente Dependentes (LD).

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$$
\left(\begin{array}{rrrr}
2 & 1 & 0