Determine se o conjunto de vetores em P2 é linearmente independente ou linearmente dependente:
S=-x+x^2,-5+x,-x+x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir se o conjunto de vetores em (que são os polinômios de grau até 2) é linearmente independente ou dependente. Para isso, vamos precisar entender o que significa esses termos e usar álgebra linear para analisar os vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente ou dependente. Um conjunto é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Se existir alguma combinação não trivial (com pelo menos um coeficiente diferente de zero) que resulta no vetor zero, então o conjunto é linearmente dependente.

Passo 3

Vamos escrever os vetores de de forma mais clara, identificando os coeficientes de cada termo:
  • pode ser representado como já que é .
  • pode ser representado como já que é .
  • novamente é .

Passo 4

Agora, vamos montar uma combinação linear desses vetores igual a zero:
c1(1, -1, 0) + c2(0, 1, -5) + c3(1, -1, 0) = (0, 0, 0)
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
c1 + c3 = 0 - c1 + c2 - c3 = 0 -5c2 = 0

Passo 5

Vamos resolver esse sistema:
  1. Da terceira equação: implica que .
  2. Substituindo na segunda equação: , ou seja, .
  3. Substituindo na primeira equação: , que é sempre verdadeiro.
Isso significa que temos uma solução onde e . Podemos escolher, por exemplo, , então .

Resposta

Como existe uma combinação não trivial (por exemplo, , , ) que satisfaz a equação, o conjunto é linearmente dependente.

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Verifique se os conjuntos de vetores em R^3 são LI ou LD:
(-2,0,1),(3,2,5),(6,-1,1),(7,0,2)
Determine se os seguintes vetores são LI ou LD em R^2 :
(2,3),(4,6)
Calcular o polinômio característico e os valores próprios da matriz:
$$
\left(\begin{array}{rrrr}
2 & 1 & 0
Determine se os seguintes vetores são linearmente independentes em P3 :
x+2, x+1, x^2-1