Determine se o conjunto de vetores em é linearmente independente ou linearmente dependente:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir se o conjunto de vetores em (que são os polinômios de grau até 2) é linearmente independente ou dependente. Para isso, vamos precisar entender o que significa esses termos e usar álgebra linear para analisar os vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente ou dependente. Um conjunto é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Se existir alguma combinação não trivial (com pelo menos um coeficiente diferente de zero) que resulta no vetor zero, então o conjunto é linearmente dependente.
Passo 3
Vamos escrever os vetores de de forma mais clara, identificando os coeficientes de cada termo:
pode ser representado como já que é .
pode ser representado como já que é .
novamente é .
Passo 4
Agora, vamos montar uma combinação linear desses vetores igual a zero:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema:
Da terceira equação: implica que .
Substituindo na segunda equação: , ou seja, .
Substituindo na primeira equação: , que é sempre verdadeiro.
Isso significa que temos uma solução onde e . Podemos escolher, por exemplo, , então .
Resposta
Como existe uma combinação não trivial (por exemplo, , , ) que satisfaz a equação, o conjunto é linearmente dependente.