Determine se o conjunto de vetores em M2 times 2 é linearmente independente ou linearmente dependete:
A=[cc1 & -1 4 & 5], B=[cc-4 & -1 0 & 5] e C=[cc-8 & -3 -6 & 17]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se um conjunto de três matrizes 2 times 2 é linearmente independente ou dependente. Isso está relacionado à álgebra linear, especificamente ao conceito de independência linear. Para resolver isso, vamos precisar entender se existe uma combinação linear dessas matrizes que resulta na matriz zero, além da combinação trivial (onde todos os coeficientes são zero).

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as matrizes que a gente tem:
A = 1 & -1 4 & 5 , B = -4 & -1 0 & 5 , C = -8 & -3 -6 & 17

Passo 3

A ideia é ver se existe uma combinação c1 A + c2 B + c3 C = 0, onde c1, c2, c3 não são todos zero. Se sim, elas são lineares dependentes; se não, independentes.

Passo 4

Vamos montar essa combinação:
c1 1 & -1 4 & 5 + c2 -4 & -1 0 & 5 + c3 -8 & -3 -6 & 17 = 0 & 0 0 & 0

Passo 5

Isso nos dá um sistema de equações para cada posição da matriz:
  1. c1 cdot 1 + c2 cdot (-4) + c3 cdot (-8) = 0 (posição [1,1])
  2. c1 cdot (-1) + c2 cdot (-1) + c3 cdot (-3) = 0 (posição [1,2])
  3. c1 cdot 4 + c2 cdot 0 + c3 cdot (-6) = 0 (posição [2,1])
  4. c1 cdot 5 + c2 cdot 5 + c3 cdot 17 = 0 (posição [2,2])

Passo 6

Vamos simplificar esse sistema:
  1. c1 - 4c2 - 8c3 = 0
  2. -c1 - c2 - 3c3 = 0
  3. 4c1 - 6c3 = 0
  4. 5c1 + 5c2 + 17c3 = 0

Passo 7

Agora, vamos resolver esse sistema. Primeiro, da equação 3:
4c1 - 6c3 = 0 Rightarrow c1 = 64c3 = 32c3

Passo 8

Substituindo c1 = 32c3 na equação 2:
-(32c3) - c2 - 3c3 = 0 -32c3 - 3c3 = c2 c2 = -92c3

Passo 9

Agora, substituindo c1 e c2 na equação 1:
32c3 - 4(-92c3) - 8c3 = 0 32c3 + 18c3 - 8c3 = 0 32c3 + 10c3 = 232c3 = 0
Isso implica que c3 = 0.

Passo 10

Se c3 = 0, então de c1 = 32c3, temos c1 = 0, e de c2 = -92c3, temos c2 = 0.

Passo 11

A única solução para o sistema é c1 = c2 = c3 = 0, ou seja, a combinação trivial.

Resposta

Portanto, o conjunto de matrizes A, B e C é linearmente independente.

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$$
\left(\begin{array}{rrrr}
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