Determine se o conjunto de vetores em
é linearmente independente ou linearmente dependete:
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se um conjunto de três matrizes
é linearmente independente ou dependente. Isso está relacionado à álgebra linear, especificamente ao conceito de independência linear. Para resolver isso, vamos precisar entender se existe uma combinação linear dessas matrizes que resulta na matriz zero, além da combinação trivial (onde todos os coeficientes são zero).
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as matrizes que a gente tem:
Passo 3
A ideia é ver se existe uma combinação
, onde
,
,
não são todos zero. Se sim, elas são lineares dependentes; se não, independentes.
Passo 4
Vamos montar essa combinação:
Passo 5
Isso nos dá um sistema de equações para cada posição da matriz:
-
(posição [1,1]) -
(posição [1,2]) -
(posição [2,1]) -
(posição [2,2])
Passo 6
Vamos simplificar esse sistema:
Passo 7
Agora, vamos resolver esse sistema. Primeiro, da equação 3:
Passo 8
Substituindo
na equação 2:
Passo 9
Agora, substituindo
e
na equação 1:
Isso implica que
.
Passo 10
Se
, então de
, temos
, e de
, temos
.
Passo 11
A única solução para o sistema é
, ou seja, a combinação trivial.
Resposta
Portanto, o conjunto de matrizes
,
e
é linearmente independente.
Exercícios relacionados
Determine se os seguintes vetores são linearmente independentes em
:
Calcular o polinômio característico e os valores próprios da matriz:
$$
\left(\begin{array}{rrrr}
2 & 1 & 0
\left(\begin{array}{rrrr}
2 & 1 & 0
Determine se os seguintes vetores são LI ou LD em
:
Determine se o conjunto de vetores em
é linearmente independente ou linearmente dependente: