Determine se os seguintes vetores são linearmente independentes em P3 :
x+2, x+1, x^2-1

Passo 1

Ok, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos três vetores no espaço x + 2, x + 1, x^2 - 1 , que é o conjunto de todos os polinômios de grau até 3. Os vetores são:
Queremos determinar se esses vetores são linearmente independentes. Para isso, vamos precisar conhecer o conceito de independência linear e como aplicá-lo a vetores em um espaço vetorial como .

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que significa linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se tivermos:
a(x + 2) + b(x + 1) + c(x^2 - 1) = 0
Então, para que os vetores sejam independentes, a única solução deve ser , , e .

Passo 3

Vamos montar essa equação:
a(x + 2) + b(x + 1) + c(x^2 - 1) = 0
Distribuindo os coeficientes:
a x + 2a + b x + b + c x^2 - c = 0
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
c x^2 + (a + b) x + (2a + b - c) = 0
Para que essa equação seja igual ao vetor zero, todos os coeficientes dos monômios devem ser iguais a zero:
c = 0 a + b = 0 2a + b - c = 0

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações:
  1. Da primeira equação: 2a + (-a) - 0 = 0 Rightarrow a = 0
  2. Substituindo na segunda equação:
  3. Substituindo e na terceira equação:
  1. Com , então

Passo 5

Chegamos à conclusão de que a única solução para o sistema é , e . Isso significa que a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero.

Resposta

Os vetores são linearmente independentes em .

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