Determine se os seguintes vetores são linearmente independentes em :
Passo 1
Ok, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos três vetores no espaço , que é o conjunto de todos os polinômios de grau até 3. Os vetores são:
Queremos determinar se esses vetores são linearmente independentes. Para isso, vamos precisar conhecer o conceito de independência linear e como aplicá-lo a vetores em um espaço vetorial como .
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que significa linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se tivermos:
Então, para que os vetores sejam independentes, a única solução deve ser , , e .
Passo 3
Vamos montar essa equação:
Distribuindo os coeficientes:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Para que essa equação seja igual ao vetor zero, todos os coeficientes dos monômios devem ser iguais a zero:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações:
Da primeira equação: 2a + (-a) - 0 = 0 Rightarrow a = 0
Substituindo na segunda equação: →
Substituindo e na terceira equação:
Com , então
Passo 5
Chegamos à conclusão de que a única solução para o sistema é , e . Isso significa que a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero.