Calcular o polinômio característico e os valores próprios da matriz:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer calcular o polinômio característico e os valores próprios da matriz que você me enviou. Para isso, vamos precisar usar alguns conceitos de álgebra linear, como determinantes e resolução de equações polinomiais. Nosso objetivo é encontrar um polinômio que nos ajude a descobrir quais são os valores próprios dessa matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio característico. Ele é definido como A - lambda I = 2 - lambda & 1 & 0 & 0 0 & 2 - lambda & 0 & 0 0 & 0 & 1 - lambda & 1 0 & 0 & -2 & 4 - lambda , onde é a matriz dada, é um escalar (o valor próprio que queremos encontrar) e é a matriz identidade do mesmo tamanho que .
Então, vamos montar a matriz :
Passo 3
Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz 2 - lambda & 1 0 & 2 - lambda e 1 - lambda & 1 -2 & 4 - lambda . Observando a estrutura da matriz, percebemos que ela é bloco diagonal. Isso significa que podemos dividir a matriz em blocos menores e calcular o determinante multiplicando os determinantes desses blocos.
Os blocos são:
Passo 4
Vamos calcular o determinante de cada bloco separadamente.
Primeiro, para o bloco 2 - lambda & 1 0 & 2 - lambda :
det 2 - lambda & 1 0 & 2 - lambda = (2 - lambda) times (2 - lambda) - 0 times 1 = (2 - lambda)^2
Em seguida, para o bloco 1 - lambda & 1 -2 & 4 - lambda :