Calcular o polinômio característico e os valores próprios da matriz:
(rrrr 2 & 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & -2 & 4 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular o polinômio característico e os valores próprios da matriz que você me enviou. Para isso, vamos precisar usar alguns conceitos de álgebra linear, como determinantes e resolução de equações polinomiais. Nosso objetivo é encontrar um polinômio que nos ajude a descobrir quais são os valores próprios dessa matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio característico. Ele é definido como A - lambda I = 2 - lambda & 1 & 0 & 0 0 & 2 - lambda & 0 & 0 0 & 0 & 1 - lambda & 1 0 & 0 & -2 & 4 - lambda , onde é a matriz dada, é um escalar (o valor próprio que queremos encontrar) e é a matriz identidade do mesmo tamanho que .
Então, vamos montar a matriz :

Passo 3

Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz 2 - lambda & 1 0 & 2 - lambda e 1 - lambda & 1 -2 & 4 - lambda . Observando a estrutura da matriz, percebemos que ela é bloco diagonal. Isso significa que podemos dividir a matriz em blocos menores e calcular o determinante multiplicando os determinantes desses blocos.
Os blocos são:

Passo 4

Vamos calcular o determinante de cada bloco separadamente.
Primeiro, para o bloco 2 - lambda & 1 0 & 2 - lambda :
det 2 - lambda & 1 0 & 2 - lambda = (2 - lambda) times (2 - lambda) - 0 times 1 = (2 - lambda)^2
Em seguida, para o bloco 1 - lambda & 1 -2 & 4 - lambda :
det 1 - lambda & 1 -2 & 4 - lambda = (1 - lambda)(4 - lambda) - (-2) times 1 = (1 - lambda)(4 - lambda) + 2
Vamos desenvolver mais essa parte.

Passo 5

Expandindo (1 - lambda)(4 - lambda) = 1 times 4 - 1 times lambda - lambda times 4 + lambda times lambda = 4 - lambda - 4lambda + lambda^2 = lambda^2 - 5lambda + 4 :
lambda^2 - 5lambda + 4 + 2 = lambda^2 - 5lambda + 6
Agora, somando os 2 que está fora:
Então, o determinante do segundo bloco é .

Passo 6

Agora, multiplicamos os determinantes dos dois blocos para obter o polinômio característico:
p(lambda) = (2 - lambda)^2 times (lambda^2 - 5lambda + 6)
Vamos fatorar o polinômio quadrático para simplificar:
lambda^2 - 5lambda + 6 = (lambda - 2)(lambda - 3)
Então, o polinômio característico fica:
p(lambda) = (2 - lambda)^2 (lambda - 2)(lambda - 3) = (2 - lambda)^3 (lambda - 3)

Passo 7

Para encontrar os valores próprios, precisamos resolver a equação (2 - lambda)^3 (lambda - 3) = 0 :
Isso nos dá duas soluções:

Resposta

O polinômio característico da matriz é e os valores próprios são com multiplicidade 3 e .

Exercícios relacionados