Verifique se as seguintes funçòes de
em
sâo transformaçöes lineares:
-
com
fixo
-
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a pergunta está pedindo. Temos duas funções definidas em um espaço vetorial
sobre os números reais
, e queremos verificar se essas funções são transformações lineares. Para isso, precisamos saber o que é uma transformação linear: ela deve satisfazer duas propriedades principais, a aditividade e a homogeneidade. Vamos dar uma olhada nas duas funções que precisamos analisar.
Passo 2
A primeira função é
, onde
é um vetor fixo em
e
é uma constante escalar. Aqui,
representa o produto interno no espaço vetorial.
Para verificar se
é linear, vamos checar as duas propriedades:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Vamos aplicar essas propriedades:
Aditividade:
Homogeneidade:
Como ambas as propriedades são satisfeitas, a primeira função
é uma transformação linear.
Passo 3
Agora, vamos analisar a segunda função:
. Novamente,
é o produto interno no espaço vetorial.
Vamos verificar as duas propriedades:
Aditividade:
Expandindo o produto interno:
Agora, calculando
:
Claramente,
porque temos termos extras
na primeira expressão. Portanto, a aditividade não é satisfeita.
Homogeneidade:
Mesmo que a aditividade falhe, vamos verificar a homogeneidade para completar:
Mesmo que a aditividade falhe, vamos verificar a homogeneidade para completar:
Aqui,
a menos que
ou
, então a homogeneidade também não é satisfeita.
Resposta
A primeira função
é uma transformação linear, enquanto a segunda função
não é uma transformação linear.