Verifique se as seguintes funçòes de V em R sâo transformaçöes lineares:
  • T(v)=lang<= w, pi vrang<= com w in V fixo
  • T(v)=lang<= v, 2 vrang<=

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a pergunta está pedindo. Temos duas funções definidas em um espaço vetorial V sobre os números reais R, e queremos verificar se essas funções são transformações lineares. Para isso, precisamos saber o que é uma transformação linear: ela deve satisfazer duas propriedades principais, a aditividade e a homogeneidade. Vamos dar uma olhada nas duas funções que precisamos analisar.

Passo 2

A primeira função é T(v) = lang<= w, pi v rang<=, onde w é um vetor fixo em V e pi é uma constante escalar. Aqui, lang<= cdot , cdot rang<= representa o produto interno no espaço vetorial.
Para verificar se T é linear, vamos checar as duas propriedades:
  1. Aditividade: T(u + v) = T(u) + T(v)
  2. Homogeneidade: T(c cdot v) = c cdot T(v)
Vamos aplicar essas propriedades:
Aditividade:
T(u + v) = lang<= w, pi (u + v) rang<= = lang<= w, pi u + pi v rang<= = lang<= w, pi u rang<= + lang<= w, pi v rang<= = T(u) + T(v)
Homogeneidade:
T(c cdot v) = lang<= w, pi (c cdot v) rang<= = lang<= w, c cdot pi v rang<= = c cdot lang<= w, pi v rang<= = c cdot T(v)
Como ambas as propriedades são satisfeitas, a primeira função T(v) = lang<= w, pi v rang<= é uma transformação linear.

Passo 3

Agora, vamos analisar a segunda função: T(v) = lang<= v, 2v rang<=. Novamente, lang<= cdot , cdot rang<= é o produto interno no espaço vetorial.
Vamos verificar as duas propriedades:
Aditividade:
T(u + v) = lang<= u + v, 2(u + v) rang<= = lang<= u + v, 2u + 2v rang<=
Expandindo o produto interno:
= lang<= u, 2u rang<= + lang<= u, 2v rang<= + lang<= v, 2u rang<= + lang<= v, 2v rang<=
= 2lang<= u, u rang<= + 2lang<= u, v rang<= + 2lang<= v, u rang<= + 2lang<= v, v rang<=
Agora, calculando T(u) + T(v):
T(u) + T(v) = lang<= u, 2u rang<= + lang<= v, 2v rang<= = 2lang<= u, u rang<= + 2lang<= v, v rang<=
Claramente, T(u + v) neq T(u) + T(v) porque temos termos extras 2lang<= u, v rang<= + 2lang<= v, u rang<= na primeira expressão. Portanto, a aditividade não é satisfeita.
Homogeneidade:
Mesmo que a aditividade falhe, vamos verificar a homogeneidade para completar:
T(c cdot v) = lang<= c cdot v, 2(c cdot v) rang<= = c cdot lang<= v, 2c cdot v rang<= = 2c^2 lang<= v, v rang<=
c cdot T(v) = c cdot lang<= v, 2v rang<= = 2c lang<= v, v rang<=
Aqui, 2c^2 lang<= v, v rang<= neq 2c lang<= v, v rang<= a menos que c = 0 ou c = 1, então a homogeneidade também não é satisfeita.

Resposta

A primeira função T(v) = lang<= w, pi v rang<= é uma transformação linear, enquanto a segunda função T(v) = lang<= v, 2v rang<= não é uma transformação linear.

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