Calcular o polinômio característico e os valores próprios das seguintes matrizes:
(ll 2 & 0 1 & 1 ),(rr -1 & -1 -3 & 1 ),(ll 2 & 1 0 & 1 ) e (rr -1 & -3 -1 & 1 )

Passo 1

Vamos calcular o polinômio característico e os valores próprios de quatro matrizes específicas. Isso faz parte da álgebra linear, onde estudamos valores próprios (ou autovalores) e polinômios característicos de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar o polinômio característico de uma matriz e, a partir dele, determinar os valores próprios.

Passo 2

Primeira Matriz:
A = 2 & 0 1 & 1
Polinômio Característico:
Para encontrar o polinômio característico, calculamos o determinante de det(A - lambda I) = det 2 - lambda & 0 1 & 1 - lambda = (2 - lambda)(1 - lambda) - (0 cdot 1) = (2 - lambda)(1 - lambda) , onde (2 - lambda)(1 - lambda) = 2(1 - lambda) - lambda(1 - lambda) = 2 - 2lambda - lambda + lambda^2 = lambda^2 - 3lambda + 2 é a matriz identidade e lambda = 3 pm raiz9 - 82 = 3 pm 12 é um número escalar.
Expandindo:
Valores Próprios:
Resolvemos :
Então, os valores próprios são e .

Passo 3

Segunda Matriz:
B = -1 & -1 -3 & 1
Polinômio Característico:
det(B - lambda I) = det -1 - lambda & -1 -3 & 1 - lambda = (-1 - lambda)(1 - lambda) - (-1)(-3)
Calculando:
(-1 - lambda)(1 - lambda) = -1(1 - lambda) - lambda(1 - lambda) = -1 + lambda - lambda + lambda^2 = lambda^2 - 1
- (-1)(-3) = -3
Então,
det(B - lambda I) = (lambda^2 - 1) - 3 = lambda^2 - 4
Valores Próprios:
Resolvemos lambda = pm 2 :
Então, os valores próprios são e .

Passo 4

Terceira Matriz:
C = 2 & 1 0 & 1
Polinômio Característico:
det(C - lambda I) = det 2 - lambda & 1 0 & 1 - lambda = (2 - lambda)(1 - lambda) - (1 cdot 0) = (2 - lambda)(1 - lambda)
Expandindo:
(2 - lambda)(1 - lambda) = 2(1 - lambda) - lambda(1 - lambda) = 2 - 2lambda - lambda + lambda^2 = lambda^2 - 3lambda + 2
Valores Próprios:
Resolvemos lambda = 3 pm raiz9 - 82 = 3 pm 12 :
Então, os valores próprios são e .

Passo 5

Quarta Matriz:
D = -1 & -3 -1 & 1
Polinômio Característico:
det(D - lambda I) = det -1 - lambda & -3 -1 & 1 - lambda = (-1 - lambda)(1 - lambda) - (-3)(-1)
Calculando:
(-1 - lambda)(1 - lambda) = -1(1 - lambda) - lambda(1 - lambda) = -1 + lambda - lambda + lambda^2 = lambda^2 - 1
- (-3)(-1) = -3
Então,
det(D - lambda I) = (lambda^2 - 1) - 3 = lambda^2 - 4
Valores Próprios:
Resolvemos lambda = pm 2 :
Então, os valores próprios são e .

Resposta

Os polinômios característicos e os valores próprios das matrizes são:
  1. Matriz :
    • Polinômio Característico:
    • Valores Próprios: ,
  2. Matriz :
    • Polinômio Característico:
    • Valores Próprios: ,
  3. Matriz :
    • Polinômio Característico:
    • Valores Próprios: ,
  4. Matriz :
    • Polinômio Característico:
    • Valores Próprios: ,

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