Calcular o polinômio característico e os valores próprios das seguintes matrizes:
Passo 1
Vamos calcular o polinômio característico e os valores próprios de quatro matrizes específicas. Isso faz parte da álgebra linear, onde estudamos valores próprios (ou autovalores) e polinômios característicos de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar o polinômio característico de uma matriz e, a partir dele, determinar os valores próprios.
Passo 2
Primeira Matriz:
Polinômio Característico:
Para encontrar o polinômio característico, calculamos o determinante de , onde
é a matriz identidade e
é um número escalar.
Para encontrar o polinômio característico, calculamos o determinante de
Expandindo:
Valores Próprios:
Resolvemos :
Resolvemos
Então, os valores próprios são
e
.
Passo 3
Segunda Matriz:
Polinômio Característico:
Calculando:
Então,
Valores Próprios:
Resolvemos :
Resolvemos
Então, os valores próprios são
e
.
Passo 4
Terceira Matriz:
Polinômio Característico:
Expandindo:
Valores Próprios:
Resolvemos :
Resolvemos
Então, os valores próprios são
e
.
Passo 5
Quarta Matriz:
Polinômio Característico:
Calculando:
Então,
Valores Próprios:
Resolvemos :
Resolvemos
Então, os valores próprios são
e
.
Resposta
Os polinômios característicos e os valores próprios das matrizes são:
-
Matriz
: - Polinômio Característico:
- Valores Próprios:
,
- Polinômio Característico:
-
Matriz
: - Polinômio Característico:
- Valores Próprios:
,
- Polinômio Característico:
-
Matriz
: - Polinômio Característico:
- Valores Próprios:
,
- Polinômio Característico:
-
Matriz
: - Polinômio Característico:
- Valores Próprios:
,
- Polinômio Característico: