Determinar valores e vetores próprios do operador T do R^4 cuja matriz em relação à base canônica é:
(llll 3 & 1 & 0 & 0 0 & 3 & 0 & 0 0 & 0 & 4 & 0 0 & 0 & 0 & 3 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores próprios e os vetores próprios do operador T no espaço R^4. A matriz desse operador na base canônica é:
(llll 3 & 1 & 0 & 0 0 & 3 & 0 & 0 0 & 0 & 4 & 0 0 & 0 & 0 & 3 )
Para fazer isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os valores próprios (ou autovalores) da matriz. Os valores próprios são os números lambda que satisfazem a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Aqui, A é a matriz dada e I é a matriz identidade de ordem 4.

Passo 3

Vamos calcular a matriz A - lambda I:
A - lambda I = (llll 3-lambda & 1 & 0 & 0 0 & 3-lambda & 0 & 0 0 & 0 & 4-lambda & 0 0 & 0 & 0 & 3-lambda )

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (3-lambda) times det(lll 3-lambda & 0 & 0 0 & 4-lambda & 0 0 & 0 & 3-lambda )
Como a matriz é triangular (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), o determinante é o produto dos elementos da diagonal:
det(A - lambda I) = (3-lambda)^3 (4-lambda)

Passo 5

Para encontrar os valores próprios, resolvemos a equação:
(3-lambda)^3 (4-lambda) = 0
Isso nos dá as soluções:
lambda = 3 (com mu
Então, os valores próprios são lambda = 3 e lambda = 4.

Passo 6

Agora, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio. Um vetor próprio v satisfaz a equação:
(A - lambda I) v = 0
Vamos fazer isso para cada valor próprio.

Passo 7

Para lambda = 3:
A matriz A - 3I é:
(llll 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 )
Queremos encontrar vetores v = (v1, v2, v3, v4) que satisfazem:
0 cdot v1 + 1 cdot v2 + 0 cdot v3 + 0 cdot v4 = 0 0 cdot v1 + 0 cdot v2 + 0 cdot v3 + 0 cdot v4 = 0 0 cdot v1 + 0 cdot v2 + 1 cdot v3 + 0 cdot v4 = 0 0 cdot v1 + 0 cdot v2 + 0 cdot v3 + 0 cdot v4 = 0
Isso simplifica para:
v2 = 0 v3 = 0
As variáveis v1 e v4 são livres, ou seja, podem ser quaisquer números reais.

Passo 8

Assim, os vetores próprios para lambda = 3 são da forma:
v = v1 0 0 v4 = v1 1 0 0 0 + v4 0 0 0 1
Portanto, temos dois vetores próprios lineares independentes:
1 0 0 0 e 0 0 0 1

Passo 9

Para lambda = 4:
A matriz A - 4I é:
(llll -1 & 1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & -1 )
Queremos encontrar vetores v = (v1, v2, v3, v4) que satisfazem:
-1 cdot v1 + 1 cdot v2 + 0 cdot v3 + 0 cdot v4 = 0 0 cdot v1 - 1 cdot v2 + 0 cdot v3 + 0 cdot v4 = 0 0 cdot v1 + 0 cdot v2 + 0 cdot v3 + 0 cdot v4 = 0 0 cdot v1 + 0 cdot v2 + 0 cdot v3 - 1 cdot v4 = 0
Isso simplifica para:
-v1 + v2 = 0 -v2 = 0
Da segunda equação, temos v2 = 0. Substituindo na primeira equação, -v1 + 0 = 0 Rightarrow v1 = 0.
A variável v3 é livre, mas da última equação, -v4 = 0 Rightarrow v4 = 0.

Passo 10

Portanto, os vetores próprios para lambda = 4 são da forma:
v = 0 0 v3 0 = v3 0 0 1 0
Ou seja, temos um vetor próprio:
0 0 1 0

Resposta

Os valores próprios do operador T são lambda = 3 (com multiplicidade 3) e lambda = 4.
Os vetores próprios correspondentes são:
  • Para lambda = 3:
    1 0 0 0 e 0 0 0 1
  • Para lambda = 4:
    0 0 1 0

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