Sejam
e
bases ordenadas de
. Encontre a matriz mudança de base entre de
para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de mudança de base em Álgebra Linear. A gente tem duas bases ordenadas
e
para o espaço
. Nosso objetivo é encontrar a matriz que faz a mudança de base de
para
. Para isso, vamos precisar entender como expressar os vetores de uma base em termos da outra e depois montar a matriz de transição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma matriz de mudança de base de
para
transforma as coordenadas de um vetor que está na base
para suas coordenadas na base
. A fórmula geral para a matriz de mudança de base
é composta pelas coordenadas dos vetores de
escritos na base
.
Passo 3
Vamos começar expressando cada vetor da base
em termos da base
. Ou seja, queremos encontrar coeficientes
e
tais que:
Passo 4
Resolvendo para o primeiro vetor
:
Da segunda equação, temos
. Substituindo na primeira,
. Então,
na base
é
, ou as coordenadas
.
Passo 5
Agora, resolvendo para o segundo vetor
:
Da segunda equação,
. Substituindo na primeira,
. Então,
na base
é
, ou as coordenadas
.
Passo 6
Com as coordenadas dos vetores de
na base
encontradas, podemos montar a matriz de mudança de base
colocando essas coordenadas como colunas:
Resposta
A matriz de mudança de base de
para
é: