Sejam B=(2,0),(0,1) e C=(1,0),(1,1) bases ordenadas de R^2. Encontre a matriz mudança de base entre de B para C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de mudança de base em Álgebra Linear. A gente tem duas bases ordenadas e para o espaço . Nosso objetivo é encontrar a matriz que faz a mudança de base de para . Para isso, vamos precisar entender como expressar os vetores de uma base em termos da outra e depois montar a matriz de transição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma matriz de mudança de base de para transforma as coordenadas de um vetor que está na base para suas coordenadas na base . A fórmula geral para a matriz de mudança de base é composta pelas coordenadas dos vetores de escritos na base .

Passo 3

Vamos começar expressando cada vetor da base (2,0) = a(1,0) + b(1,1) em termos da base (0,1) = c(1,0) + d(1,1) . Ou seja, queremos encontrar coeficientes e tais que:

Passo 4

Resolvendo para o primeiro vetor 2 = a + b (componente x) :
0 = 0 + b (componente y)
2 0
Da segunda equação, temos . Substituindo na primeira, . Então, na base é , ou as coordenadas .

Passo 5

Agora, resolvendo para o segundo vetor 0 = c + d (componente x) :
1 = 0 + d (componente y)
-1 1
Da segunda equação, . Substituindo na primeira, . Então, na base é , ou as coordenadas .

Passo 6

Com as coordenadas dos vetores de PB to C = 2 & -1 0 & 1 na base encontradas, podemos montar a matriz de mudança de base colocando essas coordenadas como colunas:

Resposta

A matriz de mudança de base de PB to C = 2 & -1 0 & 1 para é:

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