Encontre a matriz da transformação linear T: R^2 R^2 definida por T(x, y)=(2 x+y, x+3 y) em relação à base canônica beta=(1,0),(0,1) de R^2. Determine o núcleo e a imagem de T.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformações Lineares. A gente precisa encontrar a matriz que representa a transformação linear definida por usando a base canônica . Além disso, vamos determinar o núcleo e a imagem dessa transformação. Para isso, vamos precisar entender como montar a matriz da transformação e como encontrar o núcleo e a imagem usando conceitos de álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz da transformação na base canônica. A base canônica de é formada pelos vetores e . Para encontrar a matriz, aplicamos em cada um desses vetores.

Passo 3

Aplicando T(e1) = T(1, 0) = (2 cdot 1 + 0, 1 + 3 cdot 0) = (2, 1) no primeiro vetor da base canônica:
Isso significa que a primeira coluna da matriz será .

Passo 4

Agora, aplicando T(e2) = T(0, 1) = (2 cdot 0 + 1, 0 + 3 cdot 1) = (1, 3) no segundo vetor da base canônica:
Então, a segunda coluna da matriz será .

Passo 5

Com as colunas encontradas, podemos construir a matriz da transformação A = 2 & 1 1 & 3 em relação à base canônica :

Passo 6

Agora, vamos determinar o núcleo de T(x, y) = (2x + y, x + 3y) = (0, 0) . O núcleo é o conjunto de todos os vetores 2x + y = 0 x + 3y = 0 que são mapeados para o vetor zero. Ou seja:
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 7

Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos expressar y = -2x em termos de x + 3(-2x) = 0 x - 6x = 0 -5x = 0 x = 0 :
Substituindo na segunda equação:
Então, . Portanto, o único vetor no núcleo é o vetor zero.

Passo 8

Agora, vamos encontrar a imagem de . A imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando em algum vetor de . Como a matriz tem posto 2 (pois suas colunas são linearmente independentes), a imagem de é todo o espaço .

Resposta

A matriz da transformação linear A = 2 & 1 1 & 3 em relação à base canônica é
O núcleo de é somente o vetor zero, ou seja, ú, e a imagem de é todo o espaço .

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