Encontre a matriz da transformação linear definida por em relação à base canônica de . Determine o núcleo e a imagem de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformações Lineares. A gente precisa encontrar a matriz que representa a transformação linear definida por usando a base canônica . Além disso, vamos determinar o núcleo e a imagem dessa transformação. Para isso, vamos precisar entender como montar a matriz da transformação e como encontrar o núcleo e a imagem usando conceitos de álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz da transformação na base canônica. A base canônica de é formada pelos vetores e . Para encontrar a matriz, aplicamos em cada um desses vetores.

Passo 3

Aplicando no primeiro vetor da base canônica:
Isso significa que a primeira coluna da matriz será .

Passo 4

Agora, aplicando no segundo vetor da base canônica:
Então, a segunda coluna da matriz será .

Passo 5

Com as colunas encontradas, podemos construir a matriz da transformação em relação à base canônica :

Passo 6

Agora, vamos determinar o núcleo de . O núcleo é o conjunto de todos os vetores que são mapeados para o vetor zero. Ou seja:
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 7

Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos expressar em termos de :
Substituindo na segunda equação:
Então, . Portanto, o único vetor no núcleo é o vetor zero.

Passo 8

Agora, vamos encontrar a imagem de . A imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando em algum vetor de . Como a matriz tem posto 2 (pois suas colunas são linearmente independentes), a imagem de é todo o espaço .

Resposta

A matriz da transformação linear em relação à base canônica é
O núcleo de é somente o vetor zero, ou seja, ú, e a imagem de é todo o espaço .

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Determine, caso exista, a inversa das seguintes matrizes:
(e) Resp: Não é invertível.
Calcular o polinômio característico e os valores próprios das seguintes matrizes:
Determine se as transformações lineares abaixo são injetoras, sobrejetoras ou bijetoras (isto é isomorfismo). Caso seja isomorfismo, determine a inversa.
(b)
Determine se as transformações lineares abaixo são injetoras, sobrejetoras ou bijetoras (isto é isomorfismo). Caso seja isomorfismo, determine a inversa.
(d)