Encontre a matriz da transformação linear definida por em relação à base canônica de . Determine o núcleo e a imagem de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformações Lineares. A gente precisa encontrar a matriz que representa a transformação linear definida por usando a base canônica . Além disso, vamos determinar o núcleo e a imagem dessa transformação. Para isso, vamos precisar entender como montar a matriz da transformação e como encontrar o núcleo e a imagem usando conceitos de álgebra linear.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz da transformação na base canônica. A base canônica de é formada pelos vetores e . Para encontrar a matriz, aplicamos em cada um desses vetores.
Passo 3
Aplicando no primeiro vetor da base canônica:
Isso significa que a primeira coluna da matriz será .
Passo 4
Agora, aplicando no segundo vetor da base canônica:
Então, a segunda coluna da matriz será .
Passo 5
Com as colunas encontradas, podemos construir a matriz da transformação em relação à base canônica :
Passo 6
Agora, vamos determinar o núcleo de . O núcleo é o conjunto de todos os vetores que são mapeados para o vetor zero. Ou seja:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 7
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos expressar em termos de :
Substituindo na segunda equação:
Então, . Portanto, o único vetor no núcleo é o vetor zero.
Passo 8
Agora, vamos encontrar a imagem de . A imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando em algum vetor de . Como a matriz tem posto 2 (pois suas colunas são linearmente independentes), a imagem de é todo o espaço .
Resposta
A matriz da transformação linear em relação à base canônica é
O núcleo de é somente o vetor zero, ou seja, , e a imagem de é todo o espaço .