Encontre a matriz da transformação linear
definida por
em relação à base canônica
de
. Determine o núcleo e a imagem de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformações Lineares. A gente precisa encontrar a matriz que representa a transformação linear
definida por
usando a base canônica
. Além disso, vamos determinar o núcleo e a imagem dessa transformação. Para isso, vamos precisar entender como montar a matriz da transformação e como encontrar o núcleo e a imagem usando conceitos de álgebra linear.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz da transformação
na base canônica. A base canônica de
é formada pelos vetores
e
. Para encontrar a matriz, aplicamos
em cada um desses vetores.
Passo 3
Aplicando
no primeiro vetor da base canônica:
Isso significa que a primeira coluna da matriz será
.
Passo 4
Agora, aplicando
no segundo vetor da base canônica:
Então, a segunda coluna da matriz será
.
Passo 5
Com as colunas encontradas, podemos construir a matriz da transformação
em relação à base canônica
:
Passo 6
Agora, vamos determinar o núcleo de
. O núcleo é o conjunto de todos os vetores
que são mapeados para o vetor zero. Ou seja:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 7
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos expressar
em termos de
:
Substituindo na segunda equação:
Então,
. Portanto, o único vetor no núcleo é o vetor zero.
Passo 8
Agora, vamos encontrar a imagem de
. A imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando
em algum vetor de
. Como a matriz
tem posto 2 (pois suas colunas são linearmente independentes), a imagem de
é todo o espaço
.
Resposta
A matriz da transformação linear
em relação à base canônica
é
O núcleo de
é somente o vetor zero, ou seja,
, e a imagem de
é todo o espaço
.