Calcular o polinômio característico e os valores próprios das seguintes matrizes:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o polinômio característico e os valores próprios de algumas matrizes. Isso faz parte da Álgebra Linear, onde trabalhamos com autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar saber como encontrar o polinômio característico de uma matriz, que envolve calcular o determinante dessa matriz menos lambda vezes a matriz identidade. Depois, resolvemos a equação resultante para encontrar os valores próprios.
Passo 2
Vamos começar com a primeira matriz:
Primeiro, montamos a matriz
:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Para encontrar o polinômio característico, igualamos o determinante a zero:
Resolvendo essa equação, encontramos os valores próprios:
Passo 3
Agora, vamos para a segunda parte da questão, que envolve a multiplicação de duas matrizes:
Primeiro, fazemos a multiplicação das matrizes:
Agora, montamos
:
Calculamos o determinante:
Expandindo:
Esse é o polinômio característico. Para encontrar os valores próprios, resolvemos:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os valores próprios são:
Passo 4
Por último, analisamos a terceira matriz:
Montamos
:
Calculamos o determinante:
Expandindo:
Esse é o polinômio característico. Resolvendo:
Portanto, os valores próprios são:
Resposta
Os polinômios característicos e os valores próprios das matrizes são:
-
Para a matriz
: - Polinômio característico:
- Valores próprios:
,
- Polinômio característico:
-
Para a matriz resultante da multiplicação
: - Polinômio característico:
- Valores próprios:
,
- Polinômio característico:
-
Para a matriz
: - Polinômio característico:
- Valores próprios:
,
- Polinômio característico:
Exercícios relacionados
Dadas
e
, calcule
e
.
Determine
e
de modo que se tenha
Seja
uma matriz triangular, ou scja, uma matriz
tal que
sempre que
(ou, ao contrário,
, sempre que
). Qual o polinômio característico de
?
Calcule a soma
das matrizes
e
tais que
.