Calcular o polinômio característico e os valores próprios das seguintes matrizes:
(ll 2 & 0 1 & 1 ),(rr -1 & -1 -3 & 1 ) cdot(ll 2 & 1 0 & 1 ) e (ll -1 & -3 -1 & 1 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o polinômio característico e os valores próprios de algumas matrizes. Isso faz parte da Álgebra Linear, onde trabalhamos com autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar saber como encontrar o polinômio característico de uma matriz, que envolve calcular o determinante dessa matriz menos lambda vezes a matriz identidade. Depois, resolvemos a equação resultante para encontrar os valores próprios.

Passo 2

Vamos começar com a primeira matriz:
A = 2 & 0 1 & 1
Primeiro, montamos a matriz A - lambda I:
A - lambda I = 2 - lambda & 0 1 & 1 - lambda
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (2 - lambda)(1 - lambda) - (0 cdot 1) = (2 - lambda)(1 - lambda)
Para encontrar o polinômio característico, igualamos o determinante a zero:
(2 - lambda)(1 - lambda) = 0
Resolvendo essa equação, encontramos os valores próprios:
lambda1 = 1 e lambda2 = 2

Passo 3

Agora, vamos para a segunda parte da questão, que envolve a multiplicação de duas matrizes:
B = -1 & -1 -3 & 1 cdot 2 & 1 0 & 1
Primeiro, fazemos a multiplicação das matrizes:
B = (-1)(2) + (-1)(0) & (-1)(1) + (-1)(1) (-3)(2) + (1)(0) & (-3)(1) + (1)(1) = -2 & -2 -6 & -2
Agora, montamos B - lambda I:
B - lambda I = -2 - lambda & -2 -6 & -2 - lambda
Calculamos o determinante:
det(B - lambda I) = (-2 - lambda)(-2 - lambda) - (-2)(-6) = (lambda + 2)^2 - 12
Expandindo:
lambda^2 + 4lambda + 4 - 12 = lambda^2 + 4lambda - 8
Esse é o polinômio característico. Para encontrar os valores próprios, resolvemos:
lambda^2 + 4lambda - 8 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = -4 pm raiz16 + 322 = -4 pm raiz482 = -4 pm 4raiz32 = -2 pm 2raiz3
Então, os valores próprios são:
lambda1 = -2 + 2raiz3 e lambda2 = -2 - 2raiz3

Passo 4

Por último, analisamos a terceira matriz:
C = -1 & -3 -1 & 1
Montamos C - lambda I:
C - lambda I = -1 - lambda & -3 -1 & 1 - lambda
Calculamos o determinante:
det(C - lambda I) = (-1 - lambda)(1 - lambda) - (-3)(-1) = (-1 - lambda)(1 - lambda) - 3
Expandindo:
(-1)(1) + (-1)(-lambda) + (-lambda)(1) + (-lambda)(-lambda) - 3 = -1 + lambda - lambda + lambda^2 - 3 = lambda^2 - 4
Esse é o polinômio característico. Resolvendo:
lambda^2 - 4 = 0 Rightarrow lambda^2 = 4 Rightarrow lambda = pm 2
Portanto, os valores próprios são:
lambda1 = 2 e lambda2 = -2

Resposta

Os polinômios característicos e os valores próprios das matrizes são:
  1. Para a matriz 2 & 0 1 & 1 :
    • Polinômio característico: (2 - lambda)(1 - lambda)
    • Valores próprios: lambda1 = 1, lambda2 = 2
  2. Para a matriz resultante da multiplicação -1 & -1 -3 & 1 cdot 2 & 1 0 & 1 :
    • Polinômio característico: lambda^2 + 4lambda - 8
    • Valores próprios: lambda1 = -2 + 2raiz3, lambda2 = -2 - 2raiz3
  3. Para a matriz -1 & -3 -1 & 1 :
    • Polinômio característico: lambda^2 - 4
    • Valores próprios: lambda1 = 2, lambda2 = -2

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