Calcular o polinômio característico e os valores próprios das seguintes matrizes:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o polinômio característico e os valores próprios de algumas matrizes. Isso faz parte da Álgebra Linear, onde trabalhamos com autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar saber como encontrar o polinômio característico de uma matriz, que envolve calcular o determinante dessa matriz menos lambda vezes a matriz identidade. Depois, resolvemos a equação resultante para encontrar os valores próprios.

Passo 2

Vamos começar com a primeira matriz:
Primeiro, montamos a matriz :
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Para encontrar o polinômio característico, igualamos o determinante a zero:
Resolvendo essa equação, encontramos os valores próprios:

Passo 3

Agora, vamos para a segunda parte da questão, que envolve a multiplicação de duas matrizes:
Primeiro, fazemos a multiplicação das matrizes:
Agora, montamos :
Calculamos o determinante:
Expandindo:
Esse é o polinômio característico. Para encontrar os valores próprios, resolvemos:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os valores próprios são:

Passo 4

Por último, analisamos a terceira matriz:
Montamos :
Calculamos o determinante:
Expandindo:
Esse é o polinômio característico. Resolvendo:
Portanto, os valores próprios são:

Resposta

Os polinômios característicos e os valores próprios das matrizes são:
  1. Para a matriz :
    • Polinômio característico:
    • Valores próprios: ,
  2. Para a matriz resultante da multiplicação :
    • Polinômio característico:
    • Valores próprios: ,
  3. Para a matriz :
    • Polinômio característico:
    • Valores próprios: ,

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