Determine e de modo que se tenha

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar os valores de , , e de forma que duas matrizes sejam iguais. Ou seja, cada elemento na primeira matriz deve ser igual ao correspondente na segunda matriz. Vamos usar conhecimentos de álgebra linear e sistemas de equações pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as duas matrizes para ver melhor:

$$

$$
Para que as matrizes sejam iguais, cada elemento da primeira matriz deve ser igual ao da segunda nas mesmas posições.

Passo 3

Vamos comparar os elementos correspondentes:
  1. Primeiro elemento (linha 1, coluna 1):
  2. Segundo elemento (linha 1, coluna 2):
  3. Terceiro elemento (linha 1, coluna 3):
  4. Primeiro elemento da segunda linha (linha 2, coluna 1):
  5. Segundo elemento da segunda linha (linha 2, coluna 2):
  6. Terceiro elemento da segunda linha (linha 2, coluna 3):

Passo 4

Vamos resolver cada equação:

  1. Subtraindo de ambos os lados:
    Fatorando:

    Então, ou

  2. Subtraindo de ambos os lados:
    Portanto, de ou , só é válido aqui.

  3. Direto, já temos

  4. Direto,

  5. Dividindo ambos os lados por 5:

  6. Com , já satisfaz a equação:

Resposta

Os valores que satisfazem a equação são:

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Provar que se é valor próprio de T, então é valor próprio de . Generalizando, se é um polinômio então é valor próprio de , onde .
[1,0 ponto] Mostre que .
Dadas e , calcule e .
Calcular o polinômio característico e os valores próprios das seguintes matrizes: