Seja
uma matriz triangular, ou scja, uma matriz
tal que
sempre que
(ou, ao contrário,
, sempre que
). Qual o polinômio característico de
?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma matriz triangular
, que pode ser superior ou inferior. Isso significa que todos os elementos abaixo (ou acima) da diagonal principal são zero. O objetivo é encontrar o polinômio característico dessa matriz. Para resolver isso, vamos precisar saber o que é o polinômio característico e como ele se relaciona com uma matriz triangular.
Passo 2
Vamos começar definindo o polinômio característico. Para qualquer matriz quadrada
, o polinômio característico é dado por:
onde
representa o determinante,
é um escalar (geralmente usado para encontrar os autovalores), e
é a matriz identidade do mesmo tamanho que
.
Passo 3
Como
é uma matriz triangular, seja superior ou inferior, o que simplifica bastante o cálculo do determinante. Em uma matriz triangular, o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. Portanto, para
, a diagonal principal será composta por
, onde
são os elementos da diagonal de
.
Passo 4
Assim, o determinante de
será:
Isso significa que o polinômio característico é o produto dos termos
para cada elemento da diagonal principal.
Resposta
O polinômio característico de
é dado por:
Exercícios relacionados
Calcular o polinômio característico e os valores próprios das seguintes matrizes:
Dadas
e
, calcule
e
.
Calcule a soma
das matrizes
e
tais que
.
Demonstrar que os vetores:
e
conformam uma base de
.