Seja A uma matriz triangular, ou scja, uma matriz A=(ai j) tal que ai j=0 sempre que i>j (ou, ao contrário, aij=0, sempre que i ). Qual o polinômio característico de A ?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma matriz triangular A, que pode ser superior ou inferior. Isso significa que todos os elementos abaixo (ou acima) da diagonal principal são zero. O objetivo é encontrar o polinômio característico dessa matriz. Para resolver isso, vamos precisar saber o que é o polinômio característico e como ele se relaciona com uma matriz triangular.

Passo 2

Vamos começar definindo o polinômio característico. Para qualquer matriz quadrada A, o polinômio característico é dado por:
pA(lambda) = det(A - lambda I)
onde det representa o determinante, lambda é um escalar (geralmente usado para encontrar os autovalores), e I é a matriz identidade do mesmo tamanho que A.

Passo 3

Como A é uma matriz triangular, seja superior ou inferior, o que simplifica bastante o cálculo do determinante. Em uma matriz triangular, o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. Portanto, para A - lambda I, a diagonal principal será composta por (aii - lambda), onde aii são os elementos da diagonal de A.

Passo 4

Assim, o determinante de A - lambda I será:
det(A - lambda I) = (a11 - lambda)(a22 - lambda) cdots (ann - lambda)
Isso significa que o polinômio característico é o produto dos termos (lambda - aii) para cada elemento da diagonal principal.

Resposta

O polinômio característico de A é dado por:
pA(lambda) = (lambda - a11)(lambda - a22) cdots (lambda - ann)

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