Seja uma matriz triangular, ou scja, uma matriz tal que sempre que (ou, ao contrário, , sempre que ). Qual o polinômio característico de ?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma matriz triangular , que pode ser superior ou inferior. Isso significa que todos os elementos abaixo (ou acima) da diagonal principal são zero. O objetivo é encontrar o polinômio característico dessa matriz. Para resolver isso, vamos precisar saber o que é o polinômio característico e como ele se relaciona com uma matriz triangular.

Passo 2

Vamos começar definindo o polinômio característico. Para qualquer matriz quadrada , o polinômio característico é dado por:
onde representa o determinante, é um escalar (geralmente usado para encontrar os autovalores), e é a matriz identidade do mesmo tamanho que .

Passo 3

Como é uma matriz triangular, seja superior ou inferior, o que simplifica bastante o cálculo do determinante. Em uma matriz triangular, o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. Portanto, para , a diagonal principal será composta por , onde são os elementos da diagonal de .

Passo 4

Assim, o determinante de será:
Isso significa que o polinômio característico é o produto dos termos para cada elemento da diagonal principal.

Resposta

O polinômio característico de é dado por:

Exercícios relacionados

Calcular o polinômio característico e os valores próprios das seguintes matrizes:
Dadas e , calcule e .
Calcule a soma das matrizes e tais que .
Demonstrar que os vetores: e conformam uma base de .