Obtenha uma base para o subespaço de gerado pelo conjunto de vetores seguintes. Determine a dimensão deste subes-paço.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma base para o subespaço de gerado pelos vetores , e . Além disso, precisamos determinar a dimensão desse subespaço. Para isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais e combinação linear.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa uma base para um subespaço. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o subespaço. Ou seja, qualquer vetor no subespaço pode ser escrito como combinação linear desses vetores da base.
Passo 3
Vamos montar uma matriz com os vetores , e como linhas:
Agora, vamos usar o método de eliminação de Gauss para simplificar essa matriz e identificar quais vetores são linearmente independentes.
Passo 4
Primeiro, vamos subtrair a primeira linha da segunda e da terceira para eliminar o primeiro elemento dessas linhas:
1 & 1 & -2 & 4 0 & 0 & 1 & -2 0 & 3 & -2 & 4
Passo 5
Agora, observamos que na segunda linha, o segundo elemento é zero, mas temos um 1 na terceira coluna. Isso já indica que as linhas são independentes até esse ponto. Vamos usar a segunda linha para eliminar o elemento abaixo dela na terceira linha.
Multiplicamos a segunda linha por 3 e subtraímos da terceira linha:
1 & 1 & -2 & 4 0 & 0 & 1 & -2 0 & 3 & -5 & 10
Depois das operações:
1 & 1 & -2 & 4 0 & 0 & 1 & -2 0 & 3 & -5 & 10
Passo 6
Agora, vamos focar na terceira linha. Podemos dividir a terceira linha por 3 para simplificar:
1 & 1 & -2 & 4 0 & 0 & 1 & -2 0 & 1 & -53 & 103
Ainda há uma relação de dependência, mas já podemos ver que temos três pivôs, o que indica que os três vetores são linearmente independentes.
Passo 7
Como os três vetores são linearmente independentes, eles formam uma base para o subespaço gerado por eles. Portanto, a base é:
, u = (1,1,-2,4), v = (1,1,-1,2), w = (1,4,-4,8) ,
Resposta
A base para o subespaço é e a dimensão desse subespaço é 3.