Resolver a equação diferencial ordinária
através de séries de potências de (
)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária que é:
Vamos usar séries de potências em torno de
. Isso significa que vamos expressar a solução
como uma série de potências de
. Para isso, precisamos entender um pouco sobre equações diferenciais e séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma mudança de variável para simplificar as coisas. Vamos definir
. Isso vai nos ajudar a trabalhar mais facilmente com a série de potências em torno de
.
Então, substituindo
na equação original:
Passo 3
Agora, vamos expandir os termos:
E para o outro termo:
Então, a equação fica:
Passo 4
Vamos supor que a solução
pode ser escrita como uma série de potências de
:
Isso significa que
é igual a
Passo 5
Precisamos das derivadas de
. Vamos calcular a primeira e a segunda derivadas:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 6
Agora, vamos substituir
e
na equação diferencial:
Substituindo
e
:
Passo 7
Vamos multiplicar os polinômios pelos séries:
Primeiro termo:
Substituindo
:
Simplificando os índices:
Passo 8
Segundo termo:
Passo 9
Agora, juntando tudo na equação:
Passo 10
Agora, vamos alinhar os termos para igualar os coeficientes de
a zero:
Para cada potência de
, temos:
Simplificando:
Passo 11
Resolvendo para
:
Essa é a nossa relação de recorrência, que nos permite encontrar os coeficientes da série a partir de
e
.
Passo 12
Para encontrar a solução geral, precisamos definir
e
. Esses são os valores iniciais que podem ser determinados pelas condições iniciais da equação, mas como não temos, vamos deixá-los como constantes.
Então, nossa solução é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada, usando séries de potências em
, é:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais da equação.