Resolver a equação diferencial ordinária
(x^2 + x) y'' + (x - 2) y = 0
através de séries de potências de ( x - 1 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária que é:
(x^2 + x) y'' + (x - 2) y = 0
Vamos usar séries de potências em torno de . Isso significa que vamos expressar a solução como uma série de potências de . Para isso, precisamos entender um pouco sobre equações diferenciais e séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma mudança de variável para simplificar as coisas. Vamos definir . Isso vai nos ajudar a trabalhar mais facilmente com a série de potências em torno de .
Então, substituindo na equação original:

Passo 3

Agora, vamos expandir os termos:
E para o outro termo:
Então, a equação fica:

Passo 4

Vamos supor que a solução pode ser escrita como uma série de potências de :
Isso significa que é igual a

Passo 5

Precisamos das derivadas de . Vamos calcular a primeira e a segunda derivadas:
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 6

Agora, vamos substituir e na equação diferencial:
Substituindo e :

Passo 7

Vamos multiplicar os polinômios pelos séries:
Primeiro termo:
Substituindo :
Simplificando os índices:

Passo 8

Segundo termo:

Passo 9

Agora, juntando tudo na equação:

Passo 10

Agora, vamos alinhar os termos para igualar os coeficientes de a zero:
Para cada potência de , temos:
Simplificando:

Passo 11

Resolvendo para :
Essa é a nossa relação de recorrência, que nos permite encontrar os coeficientes da série a partir de e .

Passo 12

Para encontrar a solução geral, precisamos definir e . Esses são os valores iniciais que podem ser determinados pelas condições iniciais da equação, mas como não temos, vamos deixá-los como constantes.
Então, nossa solução é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada, usando séries de potências em , é:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais da equação.

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