(2 pontos) A série harmônica
é divergente. Faça uma estimativa de qual deve ser o valor de
para que
seja maior do que 65345923.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a série harmônica, que é uma soma infinita dos termos
. A série harmônica é conhecida por ser divergente, ou seja, ela não converge para um número finito quando somamos infinitamente. O que a gente precisa fazer aqui é estimar qual o valor de
para que a soma parcial
seja maior que 65.345.923.
Passo 2
Primeiro, vamos entender um pouco mais sobre a série harmônica. A soma parcial
da série harmônica pode ser aproximada usando o logaritmo natural. A fórmula aproximada é:
onde
é a constante de Euler-Mascheroni, que é aproximadamente 0,5772. Essa aproximação funciona bem para valores grandes de
, que é o nosso caso.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar
tal que:
Usando a aproximação da soma parcial:
Vamos isolar
:
Como
é bem pequeno comparado a 65.345.923, podemos simplificar para:
Passo 4
Agora, para encontrar
, vamos resolver a equação:
Para isso, vamos usar a função exponencial, já que ela é a inversa do logaritmo natural:
Resposta
O valor de
precisa ser aproximadamente
para que a soma parcial da série harmônica seja maior que 65.345.923. Esse número é extremamente grande, tão grande que não é viável de ser representado ou utilizado na prática!