(2 pontos) A série harmônica
sumn=1^infty 1n
é divergente. Faça uma estimativa de qual deve ser o valor de n para que
sn=sumk=1^n 1k,
seja maior do que 65345923.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a série harmônica, que é uma soma infinita dos termos . A série harmônica é conhecida por ser divergente, ou seja, ela não converge para um número finito quando somamos infinitamente. O que a gente precisa fazer aqui é estimar qual o valor de para que a soma parcial seja maior que 65.345.923.

Passo 2

Primeiro, vamos entender um pouco mais sobre a série harmônica. A soma parcial sn approx ln(n) + gamma da série harmônica pode ser aproximada usando o logaritmo natural. A fórmula aproximada é:
onde é a constante de Euler-Mascheroni, que é aproximadamente 0,5772. Essa aproximação funciona bem para valores grandes de , que é o nosso caso.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar sn > 65.345.923 tal que:
ln(n) + gamma > 65.345.923
Usando a aproximação da soma parcial:
ln(n) > 65.345.923 - gamma
Vamos isolar ln(n) > 65.345.923 :
Como é bem pequeno comparado a 65.345.923, podemos simplificar para:

Passo 4

Agora, para encontrar ln(n) = 65.345.923 , vamos resolver a equação:
n = e^65.345.923
Para isso, vamos usar a função exponencial, já que ela é a inversa do logaritmo natural:

Resposta

O valor de precisa ser aproximadamente para que a soma parcial da série harmônica seja maior que 65.345.923. Esse número é extremamente grande, tão grande que não é viável de ser representado ou utilizado na prática!

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