Calcular o polinômio de Taylor de ordem 2 em torno de quando: .

Passo 1

Beleza! A gente vai calcular o polinômio de Taylor de ordem 2 para a função em torno de . Isso faz parte do estudo de séries de Taylor na matemática, onde a gente aproxima funções por polinômios. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas e usar a fórmula do polinômio de Taylor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do polinômio de Taylor de ordem 2 para uma função em torno de :
Aqui, e são as primeiras e segundas derivadas de avaliadas em .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas da função :
Agora, vamos avaliar essas derivadas em :

Passo 4

Agora, substituímos esses valores na fórmula do polinômio de Taylor:
Simplificando:

Resposta

O polinômio de Taylor de ordem 2 para em torno de é:

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