Se a folha é muito comprida e a sua largura é denotada por , mostre que o menor comprimento do lado é .

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma folha bem comprida, e a largura dela é representada por . O que precisamos mostrar é que o menor comprimento do lado dessa folha é . Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria, especialmente envolvendo triângulos e propriedades de formas.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar a folha como se fosse um retângulo muito comprido, onde a largura é e o comprimento é muito grande, quase infinito. Mas queremos encontrar o menor lado que está relacionado a essa largura.

Passo 3

Para encontrar o menor , vamos considerar que está associado à altura de um triângulo equilátero, já que essa configuração nos dá a menor altura para um dado lado. Em um triângulo equilátero, todos os lados são iguais, e todas as alturas são iguais.

Passo 4

Sabemos que a altura de um triângulo equilátero com lado é dada por:
Aqui, queremos relacionar com , então vamos igualar a :

Passo 5

Agora, precisamos expressar em termos de . Se considerarmos a largura como a base do triângulo equilátero, então . Substituindo isso na equação anterior:

Passo 6

Mas, queremos o menor em termos de . Para isso, precisamos considerar que estamos trabalhando com uma configuração onde o lado está relacionado a múltiplos de . Portanto, multiplicamos ambos os lados por :

Resposta

O menor comprimento do lado é .

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