Se a folha é muito comprida e a sua largura é denotada por
, mostre que o menor comprimento do lado
é
.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma folha bem comprida, e a largura dela é representada por
. O que precisamos mostrar é que o menor comprimento do lado
dessa folha é
. Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria, especialmente envolvendo triângulos e propriedades de formas.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar a folha como se fosse um retângulo muito comprido, onde a largura é
e o comprimento é muito grande, quase infinito. Mas queremos encontrar o menor lado
que está relacionado a essa largura.
Passo 3
Para encontrar o menor
, vamos considerar que
está associado à altura de um triângulo equilátero, já que essa configuração nos dá a menor altura para um dado lado. Em um triângulo equilátero, todos os lados são iguais, e todas as alturas são iguais.
Passo 4
Sabemos que a altura
de um triângulo equilátero com lado
é dada por:
Aqui, queremos relacionar
com
, então vamos igualar
a
:
Passo 5
Agora, precisamos expressar
em termos de
. Se considerarmos a largura
como a base do triângulo equilátero, então
. Substituindo isso na equação anterior:
Passo 6
Mas, queremos o menor
em termos de
. Para isso, precisamos considerar que estamos trabalhando com uma configuração onde o lado
está relacionado a múltiplos de
. Portanto, multiplicamos ambos os lados por
:
Resposta
O menor comprimento do lado
é
.
Exercícios relacionados
Calcular o polinômio de Taylor de ordem 2 em torno de
quando:
.
Encontre o diferencial
e calcule
para os valores de
e
dados:
e
.
Calcule os seguintes limites:
Defina
e
. Mostre que
;