Encontre o diferencial e calcule para os valores de e dados: e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar o diferencial e calcular seu valor para a função quando e . Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, que nos ajuda a entender como pequenas variações em (representadas por ) afetam a função . Para isso, vamos precisar usar a regra da diferenciação para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos recordar o que é o diferencial . O diferencial de uma função é dado por:
Isso significa que, para encontrar , precisamos primeiro encontrar a derivada de em relação a , que é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada da função . Para isso, usamos a regra da cadeia, que é útil quando temos uma função composta. A regra da cadeia nos diz que se , então:
No nosso caso, e .

Passo 4

Vamos aplicar a regra da cadeia:
Agora, calculamos a derivada de em relação a :
Então, substituindo de volta:

Passo 5

Agora que temos a derivada , podemos encontrar o diferencial usando a fórmula:

Passo 6

Vamos calcular para e :
Primeiro, calculamos , então:

Resposta

O diferencial para a função quando e é 10,8.

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