Esboce o gráfico de senh, cosh e tgh.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Precisamos esboçar os gráficos das funções hiperbólicas
,
e
. Essas funções fazem parte do estudo das funções hiperbólicas, que são similares às funções trigonométricas, mas baseadas na hipérbole em vez do círculo. Para desenhar os gráficos, vamos precisar conhecer as definições dessas funções e suas propriedades básicas, como domínio, imagem, comportamento assintótico e pontos de interseção com os eixos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar as definições das funções hiperbólicas:
- Seno hiperbólico:
- Cosseno hiperbólico:
- Tangente hiperbólica:
Essas definições nos ajudam a entender como as funções se comportam à medida que
varia.
Passo 3
Vamos analisar a função
:
- Domínio: Todos os números reais (
) - Imagem: Todos os números reais (
) - Comportamento:
é uma função ímpar, ou seja, . Ela cresce exponencialmente para valores positivos de e decresce exponencialmente para valores negativos. - Interseção com o eixo: A função intercepta o eixo
no ponto (0,0).
Passo 4
Agora, vamos para a função
:
- Domínio: Todos os números reais (
) - Imagem:
- Comportamento:
é uma função par, ou seja, . Ela tem um mínimo em e cresce exponencialmente à medida que se afasta de zero em ambas as direções. - Interseção com o eixo: A função intercepta o eixo
no ponto (0,1).
Passo 5
Vamos analisar a função
:
- Domínio: Todos os números reais (
) - Imagem:
- Comportamento:
é uma função ímpar. Ela se aproxima de quando tende ao infinito positivo e de quando tende ao infinito negativo. Possui um ponto de inflexão em . - Interseção com o eixo: A função intercepta o eixo
no ponto (0,0).
Passo 6
Com base nessas propriedades, podemos esboçar os gráficos:
-
: Passa pela origem, simétrica em relação à origem (ímpar), crescendo rapidamente à medida que aumenta e decrescendo rapidamente quando é negativo. -
: Tem um mínimo em no ponto , simétrica em relação ao eixo , e cresce exponencialmente para ambos os lados de . -
: Passa pela origem, com assíntotas horizontais em e , e cresce de forma suave entre esses limites.
Resposta
Os gráficos das funções
,
e
foram esboçados com base em suas definições e propriedades, mostrando comportamentos distintos:
é ímpar e cresce exponencialmente,
é par com um mínimo em
, e
é ímpar com assíntotas em
e
.
Exercícios relacionados
Calcule os seguintes limites:
Encontre o diferencial
e calcule
para os valores de
e
dados:
e
.
Calcular o polinômio de Taylor de ordem 2 em torno de
quando:
.