Calcule os seguintes limites: lim x 0^+ x^tg(x^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado ao estudo de limites em funções exponenciais e a identificação de formas indeterminadas. Para resolver, vamos precisar usar propriedades dos logaritmos e entender como lidar com expressões que têm a base e o expoente variando.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão usando o logaritmo natural para facilitar a manipulação. Sabemos que x^tan(x^2) = e^tan(x^2) cdot ln(x) , então podemos escrever:
lim x 0^+ e^tan(x^2) cdot ln(x)
Agora, nosso limite fica:

Passo 3

Como a função exponencial é contínua, podemos passar o limite para o expoente:
e^lim x 0^+ tan(x^2) cdot ln(x)
Então, precisamos calcular o limite dentro do expoente:
lim x 0^+ tan(x^2) cdot ln(x)

Passo 4

Vamos analisar tan(x^2) approx x^2 para lim x 0^+ x^2 cdot ln(x) próximo de 0. Sabemos que lim x 0^+ ln(x)1/x^2 quando lim x 0^+ 1x-2x^3 = lim x 0^+ -x^22 = 0 é pequeno. Portanto:
Substituindo na expressão do limite:
Agora, reconhecemos que tende a quando , e tende a 0. Então, temos uma forma do tipo , que é indeterminada. Para resolver, podemos reescrever a expressão como uma fração:
Agora, temos uma forma , e podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Aplicando a regra:

Passo 5

Agora que sabemos que:
lim x 0^+ tan(x^2) cdot ln(x) = 0
Voltando à nossa expressão original do limite:
e^0 = 1

Resposta

O limite é igual a 1.

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