Calcule os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício está relacionado ao estudo de limites em funções exponenciais e a identificação de formas indeterminadas. Para resolver, vamos precisar usar propriedades dos logaritmos e entender como lidar com expressões que têm a base e o expoente variando.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão usando o logaritmo natural para facilitar a manipulação. Sabemos que
, então podemos escrever:
Agora, nosso limite fica:
Passo 3
Como a função exponencial é contínua, podemos passar o limite para o expoente:
Então, precisamos calcular o limite dentro do expoente:
Passo 4
Vamos analisar
para
próximo de 0. Sabemos que
quando
é pequeno. Portanto:
Substituindo na expressão do limite:
Agora, reconhecemos que
tende a
quando
, e
tende a 0. Então, temos uma forma do tipo
, que é indeterminada. Para resolver, podemos reescrever a expressão como uma fração:
Agora, temos uma forma
, e podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Aplicando a regra:
Passo 5
Agora que sabemos que:
Voltando à nossa expressão original do limite:
Resposta
O limite
é igual a 1.
Exercícios relacionados
Se a folha é muito comprida e a sua largura é denotada por
, mostre que o menor comprimento do lado
é
.
Calcular o polinômio de Taylor de ordem 2 em torno de
quando:
.
Defina
e
. Mostre que
;
Encontre a linearização
de
em a para