Calcular os pontos extremos da função
. (Nota: Observe que
.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular os pontos extremos da função
. Estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente procurando máximos e mínimos dessa função. Para isso, vamos precisar encontrar onde as derivadas parciais em relação a
e
são iguais a zero, ou seja, os pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos dizem como a função muda se a gente variar apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Isso significa que:
Da primeira equação,
, sabemos que
, então:
Passo 4
Substituindo
na segunda equação:
Como
, então
.
Passo 5
Agora que encontramos
e
, temos um ponto crítico em
. Para determinar se esse ponto é um mínimo, máximo ou ponto de sela, precisaríamos analisar a segunda derivada ou o determinante da matriz Hessiana. Porém, como na nota foi mencionado que
, isso indica que a matriz Hessiana é singular nesse ponto, o que pode significar que o teste habitual não é conclusivo. No entanto, observando a função, percebemos que ambos os termos
e
são sempre não negativos e atingem o mínimo quando
.
Resposta
O único ponto extremo da função é
, que é um ponto de mínimo absoluto.
Exercícios relacionados
Estude as funções abaixo quanto a pontos extremos:
(a) ;
(a)
Seja
Mostre que , mas que o gráfico de
não tem plano tangente em
.
Mostre que
Use derivação implícita para calcular
:
.
e)