Calcular os pontos extremos da função . (Nota: Observe que .)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular os pontos extremos da função . Estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente procurando máximos e mínimos dessa função. Para isso, vamos precisar encontrar onde as derivadas parciais em relação a e são iguais a zero, ou seja, os pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos dizem como a função muda se a gente variar apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante.
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Isso significa que:
Da primeira equação, , sabemos que , então:

Passo 4

Substituindo na segunda equação:
Como , então .

Passo 5

Agora que encontramos e , temos um ponto crítico em . Para determinar se esse ponto é um mínimo, máximo ou ponto de sela, precisaríamos analisar a segunda derivada ou o determinante da matriz Hessiana. Porém, como na nota foi mencionado que , isso indica que a matriz Hessiana é singular nesse ponto, o que pode significar que o teste habitual não é conclusivo. No entanto, observando a função, percebemos que ambos os termos e são sempre não negativos e atingem o mínimo quando .

Resposta

O único ponto extremo da função é , que é um ponto de mínimo absoluto.

Exercícios relacionados

Estude as funções abaixo quanto a pontos extremos:
(a) ;
Seja
Mostre que , mas que o gráfico de não tem plano tangente em .
Use derivação implícita para calcular : .
e)