Use derivação implícita para calcular
:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra gente calcular
usando derivação implícita na equação
. Basicamente, vamos precisar usar as regras de derivação, especialmente a derivação implícita, que é útil quando
está misturado com
e não está isolado.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Isso significa que vamos aplicar a derivada em cada termo, lembrando que
é uma função de
, então quando derivarmos termos com
, precisamos usar a regra da cadeia.
Passo 3
Começando pelo lado esquerdo da equação:
. Usamos a regra da cadeia aqui. A derivada de
é
, onde
.
Então,
Passo 4
Agora, derivamos o lado direito da equação:
.
Primeiro, a derivada de
usa a regra do produto:
Depois, a derivada de
usa a regra da cadeia:
Então, combinando os dois termos:
Passo 5
Agora temos a derivada de ambos os lados:
Nosso objetivo é isolar
, então vamos rearranjar os termos que contêm
.
Passo 6
Vamos distribuir o
no lado esquerdo:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos trazer todos os termos com
para um lado e os demais para o outro:
Fatorando
:
Passo 8
Finalmente, isolamos
:
Resposta
A derivada
é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcular os pontos extremos da função
. (Nota: Observe que
.)
Estude as funções abaixo quanto a pontos extremos:
(a) ;
(a)
e)
j)