Use derivação implícita para calcular : .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra gente calcular usando derivação implícita na equação . Basicamente, vamos precisar usar as regras de derivação, especialmente a derivação implícita, que é útil quando está misturado com e não está isolado.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Isso significa que vamos aplicar a derivada em cada termo, lembrando que é uma função de , então quando derivarmos termos com , precisamos usar a regra da cadeia.

Passo 3

Começando pelo lado esquerdo da equação: . Usamos a regra da cadeia aqui. A derivada de é , onde .
Então,

Passo 4

Agora, derivamos o lado direito da equação: .
Primeiro, a derivada de usa a regra do produto:
Depois, a derivada de usa a regra da cadeia:
Então, combinando os dois termos:

Passo 5

Agora temos a derivada de ambos os lados:
Nosso objetivo é isolar , então vamos rearranjar os termos que contêm .

Passo 6

Vamos distribuir o no lado esquerdo:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos trazer todos os termos com para um lado e os demais para o outro:
Fatorando :

Passo 8

Finalmente, isolamos :

Resposta

A derivada é igual a .

Exercícios relacionados

Calcular os pontos extremos da função . (Nota: Observe que .)
Estude as funções abaixo quanto a pontos extremos:
(a) ;
e)
j)