Estude as funções abaixo quanto a pontos extremos:
(a)
;
(a)
Passo 1
Beleza, vamos estudar a função
para encontrar seus pontos extremos. Isso significa que vamos procurar os pontos onde a função atinge valores máximos ou mínimos. Para isso, vamos precisar usar derivadas parciais e analisar se esses pontos são realmente máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
. As derivadas parciais nos dizem como a função varia quando mudamos apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante.
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Passo 3
Para encontrar os pontos críticos, onde a função pode ter extremos, precisamos resolver o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Da segunda equação, podemos simplificar:
Passo 4
Agora, substituímos
na primeira equação:
Então,
implica que
.
Substituindo
na equação
, temos
.
Portanto, o único ponto crítico é
.
Passo 5
Agora, para determinar se esse ponto é um máximo, mínimo ou ponto de sela, vamos usar o teste da segunda derivada. Precisamos calcular as derivadas segundas e o discriminante
:
No ponto
:
O discriminante é dado por:
Passo 6
Quando o discriminante
, o teste da segunda derivada é inconclusivo. Isso significa que precisamos analisar a função de outra maneira para determinar a natureza do ponto crítico.
Vamos examinar a função
perto de
:
- Se fixarmos
, a função se torna . Para , ; para , . - Se fixarmos
com , a função será sempre positiva devido ao termo .
Isso indica que em algumas direções a função aumenta e em outras diminui ao redor de
, caracterizando um ponto de sela.
Resposta
O ponto
é um ponto de sela para a função
.
Exercícios relacionados
Seja
Mostre que , mas que o gráfico de
não tem plano tangente em
.
Mostre que
Explique porque a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização e a diferencial da função no ponto dado.
,
Calcular os pontos extremos da função
. (Nota: Observe que
.)
Use derivação implícita para calcular
:
.