Estude as funções abaixo quanto a pontos extremos:
(a) ;

Passo 1

Beleza, vamos estudar a função para encontrar seus pontos extremos. Isso significa que vamos procurar os pontos onde a função atinge valores máximos ou mínimos. Para isso, vamos precisar usar derivadas parciais e analisar se esses pontos são realmente máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos dizem como a função varia quando mudamos apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante.
Calculando a derivada parcial em relação a :
Calculando a derivada parcial em relação a :

Passo 3

Para encontrar os pontos críticos, onde a função pode ter extremos, precisamos resolver o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Da segunda equação, podemos simplificar:

Passo 4

Agora, substituímos na primeira equação:
Então, implica que .
Substituindo na equação , temos .
Portanto, o único ponto crítico é .

Passo 5

Agora, para determinar se esse ponto é um máximo, mínimo ou ponto de sela, vamos usar o teste da segunda derivada. Precisamos calcular as derivadas segundas e o discriminante :
No ponto :
O discriminante é dado por:

Passo 6

Quando o discriminante , o teste da segunda derivada é inconclusivo. Isso significa que precisamos analisar a função de outra maneira para determinar a natureza do ponto crítico.
Vamos examinar a função perto de :
  • Se fixarmos , a função se torna . Para , ; para , .
  • Se fixarmos com , a função será sempre positiva devido ao termo .
Isso indica que em algumas direções a função aumenta e em outras diminui ao redor de , caracterizando um ponto de sela.

Resposta

O ponto é um ponto de sela para a função .

Exercícios relacionados

Seja
Mostre que , mas que o gráfico de não tem plano tangente em .
Explique porque a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização e a diferencial da função no ponto dado.
,
Calcular os pontos extremos da função . (Nota: Observe que .)
Use derivação implícita para calcular : .