e)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Aqui estamos lidando com funções trigonométricas e limites, que são tópicos fundamentais em cálculo. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as propriedades dos limites e como as funções seno, cosseno e secante se comportam quando se aproxima de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador . Sabemos que é uma função contínua, então quando se aproxima de 0, se aproxima de . E . Portanto:
Agora, aplicamos isso na função seno:

Passo 3

Agora, vamos olhar para o denominador . A função secante é o inverso do cosseno, ou seja, . Como já vimos que , temos:

Passo 4

Agora que temos os limites do numerador e do denominador, podemos usar a propriedade dos limites que diz que o limite de uma fração é o quociente dos limites, desde que o limite do denominador não seja zero. Assim:

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

Use derivação implícita para calcular : .
Calcular os pontos extremos da função . (Nota: Observe que .)
j)
Seja uma função duas vezes derivável em e tal que para algúm , é possível afirmar que há um zero da derivada segunda de no intervalo ?