e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite . Aqui estamos lidando com funções trigonométricas e limites, que são tópicos fundamentais em cálculo. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as propriedades dos limites e como as funções seno, cosseno e secante se comportam quando
se aproxima de 0.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o numerador . Sabemos que
é uma função contínua, então quando
se aproxima de 0,
se aproxima de
. E
. Portanto:
Agora, aplicamos isso na função seno:
Passo 3
Agora, vamos olhar para o denominador
. A função secante é o inverso do cosseno, ou seja,
. Como já vimos que
, temos:
Passo 4
Agora que temos os limites do numerador e do denominador, podemos usar a propriedade dos limites que diz que o limite de uma fração é o quociente dos limites, desde que o limite do denominador não seja zero. Assim:
Resposta
O limite é .
Exercícios relacionados
Use derivação implícita para calcular
:
.
Calcular os pontos extremos da função
. (Nota: Observe que
.)
j)
Seja
uma função duas vezes derivável em
e tal que
para algúm
, é possível afirmar que há um zero da derivada segunda de
no intervalo
?