Seja
Mostre que
, mas que o gráfico de
não tem plano tangente em
.
Mostre que
Passo 1
Vamos analisar o problema que você apresentou. Temos uma função de duas variáveis definida por:
O objetivo é mostrar que as derivadas parciais de
em relação a
e
no ponto
são iguais a zero. Além disso, precisamos demonstrar que o gráfico de
não possui um plano tangente em
. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e diferenciabilidade de funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
no ponto
. A derivada parcial
é definida como:
Vamos substituir os valores na função
:
Então,
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
no ponto
. A derivada parcial
é definida como:
Substituindo na função
:
Assim,
Passo 4
Até agora, mostramos que ambas as derivadas parciais no ponto
são zero. Agora, precisamos verificar se o gráfico de
possui um plano tangente nesse ponto. Para que exista um plano tangente, a função
deve ser diferenciável em
.
A diferenciabilidade implica que o limite:
Substituindo os valores conhecidos:
Vamos analisar esse limite. Substituindo
:
Agora, vamos considerar caminhos diferentes para
se aproximando de
:
- Caminho
:
- Caminho
:
Como os limites ao longo de diferentes caminhos não são iguais, o limite geral não existe. Portanto, a função
não é diferenciável em
e, consequentemente, o gráfico de
não possui um plano tangente nesse ponto.
Resposta
As derivadas parciais de
em
são iguais a zero, ou seja,
e
. Contudo, o gráfico de
não possui um plano tangente em
.