Seja f(x, y) = { (x * y) / raiz(x^2 + y^2), (x, y) ≠ (0, 0) ; 0, (x, y) = (0, 0) }
Mostre que f_x(0,0) = 0 = f_y(0,0), mas que o gráfico de f não tem plano tangente em (0,0).

Passo 1

Vamos analisar o problema que você apresentou. Temos uma função de duas variáveis definida por:
O objetivo é mostrar que as derivadas parciais de em relação a e no ponto são iguais a zero. Além disso, precisamos demonstrar que o gráfico de não possui um plano tangente em . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e diferenciabilidade de funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a no ponto . A derivada parcial é definida como:
Vamos substituir os valores na função :
Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a no ponto . A derivada parcial é definida como:
Substituindo na função :
Assim,

Passo 4

Até agora, mostramos que ambas as derivadas parciais no ponto são zero. Agora, precisamos verificar se o gráfico de possui um plano tangente nesse ponto. Para que exista um plano tangente, a função deve ser diferenciável em .
A diferenciabilidade implica que o limite:
Substituindo os valores conhecidos:
Vamos analisar esse limite. Substituindo :
Agora, vamos considerar caminhos diferentes para se aproximando de :
  1. Caminho :
  1. Caminho :
Como os limites ao longo de diferentes caminhos não são iguais, o limite geral não existe. Portanto, a função não é diferenciável em e, consequentemente, o gráfico de não possui um plano tangente nesse ponto.

Resposta

As derivadas parciais de em são iguais a zero, ou seja, e . Contudo, o gráfico de não possui um plano tangente em .

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