Um oscilador harmônico satisfaz a equação: . Inicialmente, a partícula se encontra em enquanto se dirige em direção à origem com velocidade 2. Mostre que, no movimento subsequente
Deduza a amplitude das oscilações. Quanto tempo demora para a partícula atingir a origem?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está nos dizendo. Temos um oscilador harmônico que segue a equação diferencial . Isso faz parte do estudo de mecânica ou física vibracional. Para resolver essa equação e entender o movimento da partícula, vamos precisar usar conhecimentos sobre equações diferenciais e movimento harmônico simples.

Passo 2

A equação dada é . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A forma geral de uma equação de movimento harmônico simples é , onde é a frequência angular. Comparando, vemos que , então rad/s.

Passo 3

A solução geral dessa equação é uma combinação de funções seno e cosseno:
Substituindo , temos:
Aqui, e são constantes que determinam a posição e a velocidade inicial da partícula.

Passo 4

Vamos usar as condições iniciais para encontrar e . Sabemos que inicialmente, quando , e a velocidade (já que está se dirigindo em direção à origem).
Primeiro, substituímos na função :

Passo 5

Agora, vamos encontrar usando a velocidade inicial. Derivamos para obter :
Substituindo e :

Passo 6

Com os valores de e encontrados, substituímos de volta na equação geral:
Simplificando:
Isso confirma a expressão dada na questão.

Passo 7

Agora, vamos deduzir a amplitude das oscilações. A amplitude de um movimento harmônico simples é dada por:
Onde é o coeficiente de e é o coeficiente de . No nosso caso:

Passo 8

Por fim, vamos calcular o tempo que a partícula demora para atingir a origem, ou seja, quando :
Sabemos que , então:

Resposta

A amplitude das oscilações é unidades e a partícula demora segundos para atingir a origem.

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Demostre que
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e determinando a função .
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